Что-то про Штайнера и инерции центра масс.

Из основного закона динамики вращательного движения видно, что угловое ускорение зависит не только от характера действия внешних сил, но и от свойств самого тела. Динамической характеристикой тел при вращательном движении является момент инерции I. Момент инерции есть мера инертности тел при вращательном движении. В этом смысле понятие момента инерции эквивалентно понятию массы тела при поступательном движении. Момент инерции материальной точки относительно оси z (рисунок 43) равен произведению массы точки на квадрат расстояния до оси (центра) вращения . Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, на которые разбивается тело.

. (87)

В случае непрерывного распределения масс суммирование сводится к интегрированию

. (88)

Выражения (87) и (88) показывают, что момент инерции характеризует распределение массы тела относительно данной оси вращения.

В качестве примера вычислим момент инерции однородного диска относительно оси (рисунок 44). Выразим массу через плотность

Так как , то элемент объема равен , тогда . Учитывая, что , получим

(89)

Рисунок 44 Рисунок 45

Аналогичный расчет для тонкого стержня относительно оси, проходящей через его центр тяжести (рисунок 3) и перпендикулярно боковой поверхности стержня, дает

(90)

Если ось проходит через конец стержня, то

. (91)

Момент инерции шара относительно любого диаметра равен

. (92)

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести I₀, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера (Гюйгенса) (рисунок 46)

,

где d – расстояние между осями.

Для примера сравните формулы (90) и (91).

Применяя формулу Штейнера, получим

,

что совпадает с (91).

Рисунок 46

Обратите внимание на то, что во все формулы моментов инерции тел входят линейные размеры тел. При вращательном движении недостаточно знать массу тела, необходимо знать распределение массы относительно оси вращения. Таким образом, момент инерции тела I, кг.м² – мера инертности тела при вращательном движении, зависит от массы тела и распределения ее относительно оси вращения, рассчитывается по формуле

. (93)