Уравнение Шредингера

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(5.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(5.2)

Уравнение Шредингера Зависящее от времени уравнение Шредингера: где – гамильтониан системы. Разделение переменных. Запишем Ψ (, t) = ψ ()θ (t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θ ψ = iћψ θ или Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E Следовательно, θ (t) = exp(− iEt/ћ), ψ () = Eψ () и Ψ (, t) = ψ ()exp(− iEt/ћ). Уравнение ψ () = Eψ () называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид: или Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(): − (ћ2/2m)Δ ψ () + U()ψ () = Eψ (), где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ (x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ (x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ () = Eψ ().

(5.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ (, t) = ψ ()exp(− iEt/ћ)

(5.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ (, t)|, то она ~ |ψ (x, y, z)|², т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

m e v r = n ℏ {\displaystyle m_{e}vr=n\hbar \ }