Теорема о касательной и секущей.

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

­ Доказательство. Пусть через точку M (рис.11), лежащую вне окружности, проходят две прямые: одна из них касается окружности в точке A, а вторая пересекает эту окружность в точках B и C, причем точка B лежит между точками M и C.

Требуется доказать, что BM · CM = AM². Соединим точку A с точками B и C. Рассмотрим треугольники AMB и CMA. Угол при вершине M у них общий, а угол BAM — это угол между касательной AM и хордой AB. Он равен половине дуги AB, заключенной между ними. Но половине этой дуги равен и вписанный угол ACB. Поэтому треугольники AMB и CMA подобны по двум углам. Следовательно, AM/CM = BM/AM, откуда

BM · CM = AM².

Глава II. Задачи на применение