Практическое занятие 9-12

Тема: Производная. Правила дифференцирования.

Цель занятий: Применение таблицу производных при решении задач. Знать свойства производных. Уметь решать производные от параметрической и неявной функции.

Вопросы: Определение производной. Формула производных высших порядков. Дифференциал функции.

Определение: Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

(производная обозначается ).

Найти производные функции:

Пример 1.

Пример 2. ,

Пример 3.

Если т.е. где функции и имеют

производные, то (правило дифференцирования сложной функции).

Пример 4.

Решение:

Пример 5.

Решение:

Пример 6.

Решение:

Пример 7. .

Решение:

Пример 8.

Решение: Прологарифмируем равенство:

Тема: Производная неявной функции

Если зависимость х и у задана в неявной форме (1)

то для нахождения производной в простейших случаях достаточно:

1) вычислить производную по х от левой части уравнения (1), считая у функцией от х;

2) приравнять эту производную нулю, т.е., положить ;

3) решить полученное уравнение относительно .

Пример 1. Найти производную , если

Решение: Находим производную левой части равенства и приравняем к нулю, получим:

отсюда

Пример 2. Найти производную , если

Решение: Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим т.е.

Тема: Дифференцирование функций, заданных параметрический

Если функция аргумента х задана параметрическими уравнениями , то

Пример 1. Найти , если

Решение: Найдем . Следовательно

Тема: Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной.

Вторая производная обозначается так:

Производная порядка функции называется производная от производной

порядка

Обозначается производная так:

Если функция задана параметрический: то производные вычисляется

по формулам и т.д.

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

Основные свойства дифференциала

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и

Если и независимая переменная, то дифференциалы высших порядков

вычисляется по формулам:

Пример 1. Найти

Решение: Находим первую производную

Отсюда получим вторую производную а затем и искомую

третью

Пример 2. Найти для функции заданной параметрический

Решение: Воспользуемся формулой отсюда

Пример 3. Найти дифференциал функции

Решение:

Пример 4. Найти приближенное значение

Решение: Рассмотрим функцию полагая и из формулы имеем

Пример 5. Найти дифференциалы если

Решение:

Рекомендуемая литература: ОЛ [2], [3], [4], [6]