Понятие дифференциала функции

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную ≠ . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать где при .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых являющихся бесконечно малыми при При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с так как ≠ , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, .

Поэтому первое слагаемое называемых главной частью приращения функции

Дифференциальном функции в точке называется главная часть ее приращения, разная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной т.е. дифференциал функции

Так как то, согласно формуле, имеем т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

Поэтому формулу можно записать так:

Иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы следует равенство Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и

Пример 1. Найти дифференциал функции

Решение: По формуле находим

Пример 2. Найти дифференциал функции

Вычислить при

Решение:

Подставив и получим