Сравнение бесконечно малых

Пусть и - бесконечно малые при .

1. Если , то говорят, что является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут .

2. Если , где т – число, отличное от нуля, то говорят, что и - бесконечно малые одного и того же порядка. В частности, если , то бесконечно малые и называют эквивалентными. Запись

3. Если и - бесконечно малые одного и того же порядка, причем , то говорят, что бесконечно малая имеет порядок по сравнению с .

Некоторые свойства бесконечно малых:

Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т.е. если , то и .

Бесконечно малые и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с и , т.е. если , , то ~ .

3⁰ Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если , ~ , ~ , то .

Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых: если , то

~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ ,

~ , ~ , ~ , ~ .