А. Сигнализация

Алгебра логики используется при проектировании сигнализации. Пусть руководитель органа внутренних дел формулирует следующие условия работы сигнализации с охраняемого объекта: “желтый световой сигнал у дежурного по объекту включается ночью, если на каком-либо этаже здания, кроме первого этажа появляется человек; если на одном из этих этажей оказываются два человека, то гаснет желтый сигнал и загорается зеленый; если там оказываются три человека, то горят оба сигнала; при появлении на указанных этажах четырех человек горит красный свет; в том случае, когда на этих этажах находится более четырех человек, звучит сирена — сигнал тревоги (можно, например, считать, что в ночное время на эти этажи могут приходить только четыре человека)”.

Исходя из условий задачи, разработчик может считать, что проектируемое устройство имеет один входной сигнал, принимающий шесть значений. Эти значения соответствуют следующим положениям дел:

1-е значение — на втором этаже и выше нет ни одного человека,

2-е значение — на втором этаже и выше один человек,

3-е значение — на втором этаже и выше — 2 человека,

4-е значение — на втором этаже и выше — 3 человека,

5-е значение — на втором этаже и выше — 4 человека,

6-е значение — на втором этаже и выше — более 4 человек.

Представим проектируемое устройство в виде “черного ящика”, имеющею входы и выходы. Его внутреннее устройство нас не интересует. Информацию о числе входов и выходов пусть мы имеем.

Технически реализовать устройство, в котором один вход принимает шесть значений, конечно, возможно, но довольно сложно. Легче создать устройство, в котором, каждый вход принимает по два значения (например, идет электрический ток или нет). В этом случае можно использовать алгебру логики.

Сколько входов, каждый из которых имеет одно из двух значений, должно иметь устройство, реагирующее на шесть положений дел?

Один вход может отразить два положения дел, два входа — четыре положения дел, три — восемь положений дел. Итак, проектируемое устройство имеет три входа = р ₁, р ₂, р ₃, принимающие по два значения. Наборы входных сигналов отобразим в таблице:

р ₁ р ₂ р ₃

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

Пусть, далее, положения дел сопоставлены значениям входных сигналов так: набор значений 000 — “на этажах 0 человек”, 111— “один человек”, 110 — “два человека”, 101 — “три человека”, 100 — “четыре человека”, 011 — “более четырех человек”.

Устройство выдает четыре двоичных сигнала — q ₁, q ₂, q ₃, q ₄:

q ₁= 1 — включен желтый сигнал,

q ₁ = 0 — выключен желтый сигнал,

q ₂ = 1 — включен зеленый сигнал,

q ₂ = 0 — выключен зеленый сигнал,

q ₃= 1 — включен красный сигнал,

q ₃ .= 0 — выключен красный сигнал,

q ₄= 1 — включена сирена, сигнал тревоги,

q ₄= 0 — выключена сирена.

Затем покажем, как зависят значения выходных сигналов от значений входных сигналов. Рассмотрим набор значений входных сигналов 000. При этом наборе, когда на указанных этажах люди отсутствуют, все выходные сигналы имеют значение 0. При наборе значений 111 входных сигналов (один человек на этажах) q ₁ имеет значение 1, а остальные выходные сигналы — 0. При наборе значений 110 (два человека) q ₁имеет значение 0, q ₂ — 1, q ₃ — 0, q ₄ — 0. При наборе значений входных сигналов 101 (три человека) q ₁ — 1, q ₂ — 1, q ₃ — 0, q ₄ — 0. При наборе 100 q ₃ имеет значение 1, q ₄ — 0. Однако о том, какие значения имеют выходные сигналы q ₁ и q ₂ в условии ничего не сказано. Поэтому разработчик должен уточнить условие с заказчиком. Пусть руководитель решит, что в этом случае желтый и зеленый сигналы должны гореть, то есть q ₁ и q ₂ имеют значение 1. При наборе 011 (более трех человек) q ₄ имеет значение 1, а с остальными выходными сигналами дело обстоит так же, как и в предшествующем случае. Пусть заказчик решил, что и в этом случае вес выходные сигналы имеют значение 1. Сказанное можно представить в виде таблицы зависимости значений выходных сигналов от значений входных сигналов:

ВХОДЫ ВЫХОДЫ

p ₁ p ₂ p ₃ q ₁ q ₂ q ₃ q ₄

1 чел. 1 1 1 1 0 0 0

2 чел. 1 1 0 0 1 0 0

3 чел. 1 0 1 1 1 0 0

4 чел. 1 0 0 1 1 1 1

более 4-х чел. 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0

0 0 1

0 чел. 0 0 0 0 0 0 0

Запись условия работы сигнализации в виде такой таблицы позволяет устранить неполноту условий.

Условия работы сигнализации можно упростить и проанализировать с помощью алгебры логики.

Выберем строки таблицы, в которых q ₁ = 1 (1-я, 3-я, 4-я и 5-я строки).

_ _ _ _

q ₁ = p ₁ • p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃

Это равенство получено следующим образом. Если q ₁ имеет значение 1 в четырех строках, то правый член равенства должен иметь четыре члена, соединенных знаком Ú. Как получены эти члены? Если в первой сверху строке, где q ₁ = 1, p ₁, p ₂, p ₃ имеют значение 1, то пишем p ₁ • p ₂ • p ₃; если в некоторой строке, где q ₁ = 1, какой-то из входов имеет значение 0, соответствующий символ p _n пишется со знаком отрицания. Например, в третьей строке p ₁ = 1, _

p ₂ = 0, p ₃ =1, поэтому пишем p ₁, p ₂, p ₃.

Упростим правую часть равенства:

_ _ _ _

1) p ₁ • p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ — правая часть равенства, _ _ _ _

2) p ₁ • p ₃ • p ₂ Ú p ₁ • p ₃ • p ₂ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ — из 1) в результате перестановки в первом и втором членах по Т1,

_ _ _

3) p ₁ • p ₃ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ — из 2) по Т10, взяв в качестве А — p ₁ • p ₃, а в качестве В — p ₂,

_ _ _

4) p ₁ • (p ₃ Ú p ₂ • p ₃ ) Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ — из 3) по Т3,

_ _ _

5) p ₁ • (p ₂ Ú p ₃ • p ₃ ) Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ — из 4) по Т1,

_ _

6) p ₁ • (p ₂ Ú p ₃ ) Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ — из 5) по Т11,

_ _

7) p ₁ • p ₂ Ú p ₁ Ú p ₁ • p ₂ • p ₃ — из 6) по Т3,

_ _

8) p ₁ • p ₂ Ú p ₃ • (p ₁ Ú p ₁ • p ₂ )— из 7) по Т1 и Т3,

_ _

9) p ₁ • p ₂ Ú p ₃ • (p ₂ • p ₁ Ú p ₁ ) — из 8) по Т1,

_

10) p ₁ • p ₂ Ú p ₃ • (p ₂ Ú p ₁ )— из 9) поТ11,

_

11) p ₁ • p ₂ Ú p ₃ • p ₂ Ú p ₃ • p ₁— из 10) по Т3,

_

12) p ₁ • p ₂ Ú p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₃ — из 11) по Т1.

q ₁ = p ₁ • p ₂ Ú p ₂ • p ₃ Ú p ₁ • p ₃ .

Разработчик может использовать полученный результат при создании сигнализации, например, исходя из того, что ток должен идти по первому проводу и не идти по второму или идти по второму и третьему или же по первому и третьему в том случае, когда должен гореть желтый световой сигнал.