Упражнение 8

Осуществите обоснование приведенных выше правильных модусов умозаключений посредством таблиц истинности.

Еще один способ установления отношения логического следования между суждениями, а также и других отношений, заключается в следующем:

суждения переводятся на язык логики высказываний;

для формул, соответствующих суждениям, строятся сравнимые таблицы истинности;

устанавливаются виды отношений между суждениями на основе следующих определений:

1) суждения совместимы по истинности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение “истина”;

2) суждения совместимы по ложности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение “ложь”;

3) из суждений А ₁, А ₂, ..., A _n следует суждение В, если и только если в сравнимых таблицах нет строки, в которой все формулы, соответствующие суждениям А ₁, А ₂, ..., A _n, имеют значение “истина”, а формула, соответствующая суждению В, имеет значение “ложь”.

Остальные отношения являются производными по отношению к названным.

Пример: Пусть переводами трех суждений являются, соответственно, формулы Ø r Ù р, p É q Ú r, q. Построим для этих формул таблицы истинности таким образом, чтобы эти таблицы можно было сравнивать. Для этого выпишем вначале все переменные, входящие в какие-либо из этих формул. Это переменные р, q, r. Число строк таблиц = 2³ = 8. Строим таблицы:

Между первыми двумя суждениями и последним имеет место отношение логического следования. Эти суждения (все три) совместимы по истинности (см. строку 5) и не совместимы по ложности.