Программа курса «Высшая математика» Второй семестр

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Программа и контрольные задания

Для студентов инженерно-экономических специальностей
заочной и вечерней форм обучения

СЕМЕСТР 2

Красноярск 2005

Указания по выполнению контрольных работ

Студент должен выполнять один тот же вариант всех контрольных работ. Чтобы определить свой вариант, нужно разделить на 25 число, полученное отсечением двух цифр от номера студенческого билета (шифра), обозначающих год поступления в университет. Остаток от деления и есть номер вашего варианта. Если остаток равен нулю, то номер вашего варианта равен 25. Например, если шифр студента равен 23602, тогда остаток от деления 236 на 25 будет равен 11 и, следовательно, решать нужно вариант №11; если шифр студента равен 57501, тогда остаток от деления 575 на 25 будет равен 0 и, следовательно, решать нужно вариант №25.

При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:

1. В начале работы разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер и вариант контрольной работы и дату отсылки ее в университет.

2. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради (или на белой бумаге формата А 4), авторучкой или распечатанной на принтере с полями не менее 3 см для замечаний рецензента.

3. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в контрольных работах. В начале каждого решения записывать условие задачи (без сокращений).

4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов. Обязательно, если требуется, выполнять чертежи с пояснениями и нарисованными аккуратно.

Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных правил или не своего варианта, не засчитываются и возвращаются без проверки.

Получив прорецензированную работу, студент обязан исправить в ней отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, ее необходимо в короткий срок либо выполнить заново (целиком), либо решить заново задачи, указанные рецензентом. Исправленную работу следует посылать в университет вместе с незачтенной. Зачтенные контрольные работы предъявляются преподавателю при защите перед зачетом или экзаменом.

Программа курса «Высшая математика» Второй семестр

РАЗДЕЛ 1. Введение в математический анализ

1.1 Множество действительных чисел. Понятие функции и область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

1.2 Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенстве. Существование пределов монотонной ограниченной последовательности.

1.3 Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы.

1.4 Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке и на бесконечности. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность элементарных функций.

1.5 Точки разрыва и их классификация.

1.6 Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные функции.

РАЗДЕЛ 2. Дифференциальное исчисление

2.1. Производная функции и ее смысл в различных задачах. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных и правила нахождения производных. Производные высших порядков.

2.2 Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно. Логарифмическое дифференцирование.

2.3 Дифференциал функции его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала. Общее представление о методах линеаризации. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциалы высших порядков.

2.4. Теоремы о среднем. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

2.5. Правило Лопиталя.

2.6 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

2.7 Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке.

2.8. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.

2.9. Асимптоты функции. Понятие об асимптотическом разложении.

2.10. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

2.11. Функции одной переменной в экономике. Предельные показатели в макроэкономике. Максимизация прибыли. Оптимизация налогообложения предприятий. Закон убывающей эффективности производства.

2.12. Пространство . Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Предел и непрерывность функции.

2.13. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы дифференциала. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

2.14. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

2.15. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

2.16. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

2.17. Функции нескольких переменных в задачах экономики. Оптимальное распределение ресурсов. Максимизация прибыли и производства продукции. Оптимизация спроса.

РАЗДЕЛ 3. Интегральное исчисление

3.1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

3.2. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

3.3. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

3.4. Разложение рациональных дробей на простейшие.

3.5. Интегрирование рациональных дробей.

3.6. Интегрирование тригонометрических выражений.

3.7. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций.

3.8. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства.

3.9 Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.

3.10 Геометрические и механические приложения определенного интеграла.

3.11 Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Признаки сходимости несобственных интегралов.

3.12 Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов /Под ред. Н.Ш. Кремера.–М: ЮНИТИ–М., 1998.

2. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т.: Учеб. пособие. Мн: ТетраСистемс, 1998.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М: Высш. шк., 2003.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражениях и задачах. Ч.1, 2. М: Высш. шк., 2003.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2-х т. М: Айрис-пресс, 2002.

6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб.: Лань, 2001.

7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов.-М.: Высш.школа, 1998.

8. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001.

9. Красс М.С., Чупринов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2001.

10. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.: ЮНИТИ–М, 1999.

11. Общий курс высшей математики. Учебник /Под ред. В.И. Ермакова.–М: ИНФРА–М, 1999.

12. Солодовников А.С., Байбацев В.А. Математика в экономике. В 2-х ч. М.: Финансы и статистика, 2000.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
(математический анализ)

СЕМЕСТР 2

Вариант 1

1. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а)	б)
в) ,	г)
д)	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–3; 3].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а)	б)
в)	г)
д)	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а)

б)

в) .

Вариант 2

1. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а)	б) ,
в) ,	г)
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а)	б)
в)	г)
д)	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а)

б)

в) .

Вариант 3

1. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; 4].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 4

1. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–3; 1].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в)	г) ,
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 5

1. Вычислить пределы:

а) ,	б)	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–6; –1].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д)	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 6

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 2].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 7

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; 4].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в)

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д)	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 8

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 4].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 9

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 1].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а)	б)
в)	г) ,
д)	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 10

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г)
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г)
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 11

1. Вычислить пределы:

а) ,	б)	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–3; 2].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 12

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 2].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 13

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в)	г) ,
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 14

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 2].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 15

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; p/2].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

7. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 16

1. Вычислить пределы:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е)

2. Найти производные dy / dx данных функций:

а) ,	б) ,
в) ,	г) ,
д) ,	е) .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 3 x ⁴–16 x ³+2 на отрезке [–3; –1].

4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

5. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .