Билет 3.

Основные понятия теории вероятностей. Нормальное распределение и связанные с ним Х2-распределение, распределение Стьюдента и Фишера.

Вероятность события А – Р(А) – отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих появлению события А, к числу n всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента: P(A)=m/n

Случайная величина (СВ) - величина, которая в результате наблюдения принимает то или иное значение, заранее не известное и зависящее от случайных обстоятельств. Дискретная СВ принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Непрерывная СВ может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного числового промежутка.

Закон распределения СВ - соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями. Функцией распределения СВ Х называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что СВ Х принимает значение меньшее, чем x, т.е. F(x)=P(X< x)

Плотностью вероятности непрерывной СВ Х наз-ся производная ее функции распределения: F(x)=F’(x). Плотность вероятности f(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения и существует только для непрерывных случайных величин.

Числовые характеристики СВ условно подразделяют на: 1) характеристики положения (математическое ожидание M(x), мода, медиана) 2) характеристики рассеивания (дисперсия D(x), 3) среднее квадратическое отклонение σ)

Математическое ожидание - среднее (приближенное) ожидаемое значение СВ.

Для дискретной СВ: M(x)=sum(i=1; k) xi*pi где k - число всех возможных значений СВ x.

Для непрерывной СВ: M(x)=интеграл (-∞ +∞)x*f(x) dx

Дисперсией D(X) СВ Х – мат.ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания: D(X)= M(X²)-M²(X) для дискретной СВ: D(X)=sum(i=1; k)x_i^2*p_i - M^2 непрерывной СВ: D(X)=интеграл(-∞ +∞)x^2f(x)dx-M^2(X)

Среднее квадратическое отклонение σ (x) СВ Х - квадратичный корень из дисперсии.

Чтобы оценить разброс значений СВ в процентах относительно ее среднего значения, вводится коэффициент вариации, V(x)= σ (x) /│ M(x)│ *100%

Нормальное распределение. СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид: f(x)=(1/√ 2π σ)*e^(-(x-m)²/2σ ^2) Это равносильно тому, что F(x)= (1/√ 2π σ)*∫ (-∞ x)e^(-(t-m)²/2σ ^2)
На практике популярно стандартизованное нормальное распределение. В этом случае m = 0 и σ = 1. Стандартизированную нормальную СВ обозначают через U (U ~ N (0, 1)), учитывая при этом, что f(u)=(1/√ 2π)*e^(-u/2); F(u)= (1/√ 2π)*∫ (-∞ u)e^(-t^2)/2)dt

Распределение Xи-квадрат (Пирсона). СВ Ui=(xi-mi)/Ϭ i, i = 1, 2, …, n, являются независимыми СВ, имеющими стандартизированное нормальное распределение, Ui ~ N (0, 1). СВ χ 2 имеет хи – квадрат распределение с n степенями свободы (χ ² ~ χ n²), если χ 2=sum(i=1 n) Ui^2=U1^2+U2^2+…+Un^2 Применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез.

Распределение Стьюдента имеет 2 случайные последовательности: 1)стандартизованной нормальной СВ
2)СВ, распределенной по закону хи-квадрат с n степенями свободы, тогда СВ это отношение стандартизованной НСВ к корню из нормированной СВ T=U/√ V/n, U ̴ N (0, 1) с n степенями свободы (T~Tn). Распределение Стьюдента определяется только одним параметром n – числом степеней свободы. Применяется для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез.

Распределение Фишера. распределение Фишера F определяется двумя параметрами – числами степеней свободы m и n. Распределение Фишера используется при проверке статистических гипотез в дисперсионном и регрессионном анализах

58. Идентификация модели в системах одновременных уравнений.

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

-идентифицируемые; Модель Идент, если все структурные коэффициенты определяются по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели

-неидентифицируемые; Модель неидент, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

-сверхидентифицируемые. Модель сверхидент, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе приведенных коэффициентов можно получить два или более значений одного структурного коэффициента.

Н – число эндогенных переменных D – число экзогенных переменных,

Условие идент-ти ур-я может быть записано в виде счетного правила: D+1 = Н – уравнение идент; D+1 < Н – уравнение неидент; D+1 > Н – уравнение сверхидент.

БИЛЕТ №4