Порядок выполнения работы. Порядок выполнения работы рассмотрим на примере обработки результатов определительных испытаний топливного насоса авиационного двигателя.

Порядок выполнения работы рассмотрим на примере обработки результатов определительных испытаний топливного насоса авиационного двигателя.

На испытания были поставлены 20 устройств () и зафиксированы следующие моменты отказов (в часах).

: 943; 7400; 10640; 8850; 12780; 7190; 11600; 8640; 5904; 5996; 16820; 6900; 2900; 10240; 10770; 7100; 9630; 5260; 12350; 10150.

2.1 Строим вариационный ряд, располагая значения в порядке возрастания, а результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3

	0, 943	58, 68		8, 850	0, 06
	2, 900	32, 52		9, 630	1, 06
	5, 260	11, 16		10, 150	2, 40
	5, 904	7, 29		10, 240	2, 69
	5, 996	6, 78		10, 640	4, 16
	6, 900	2, 89		10, 770	4, 71
	7, 100	2, 25		11, 600	9, 00
	7, 190	1, 99		12, 350	14, 06
	7, 400	1, 44		12, 780	17, 47
	8, 640	0, 00		16, 820	67, 57

2.2 Вычисляем среднее значение наработки до отказа по формуле:

тыс. час. (13)

2.3 Заполняем последний столбец таблицы 3 и вычисляем величину квадрата среднеквадратичного отклонения наработок до отказа (оценка дисперсии) , а извлекая из полученного значения корень квадратный получаем величину статистической оценки стандартного отклонения:

; тыс. час. (14)

2.4 Построение гистограммы.

2.4.1 Определяем количество разрядов по формуле и определяем величину интервала времени для выбранного числа разрядов час. Для удобства дальнейших вычислений в качестве значения выбираем его округленное значение час., а начало первого разряда выбираем не при значении 943 час., а в начальный момент времени. При этом величина интервала времени для (1 – 4) разрядов будет 3000 час., а для последнего 5 разряда этот интервал надо увеличить до 5000 час. чтобы он включал все экспериментальные данные (таблица 4).

2.4.2 Заполняем таблицу 4, которая соответствует ранее рассмотренной таблице 2 с другим расположением строк и столбцов

Таблица 4 – Экспериментальные данные для построения группированного статистического ряда и гистограмм плотности распределения вероятности, функции распределения вероятности и интенсивности отказов

	час			час		час
	0÷ 3		0, 100	0, 033	0, 100	0, 037
	3÷ 6		0, 150	0, 050	0, 250	0, 067
	6÷ 9		0, 300	0, 100	0, 550	0, 220
	9÷ 12		0, 300	0, 100	0, 850	0, 667
	12÷ 17		0, 150	0, 030	1, 0	-

При заполнении таблицы 4 , , и вычисляем по формулам (6), (8), (9) и (10): ; ; ; .

2.4.3.Строим три гистограммы, откладывая по оси абсцисс разряды, а по оси ординат значение ,, и .

Рисунок 3 – Гистограммы плотности распределения наработок до отказа, функции распределения вероятности отказов и интенсивности отказов

2.4.4 Построение гипотетического закона распределения.

Исходя из вида полученной гистограммы для можно предположить, что распределение вероятности наработок до отказа подчиняется нормальному закону (усеченное на интервале ) распределения с параметрами :

,

где – нормировочный множитель;

– табличная функция Лапласа.

Вычисляем и по таблице функции Лапласа (Приложение А) находим . Далее вычисляем . Следовательно, без потери точности с погрешностью менее 1 % можно пользоваться стандартным нормальным законом, положив :

; (15)

; (16)

, (17)

где – функция распределения вероятности безотказной работы (функция надежности), дающая величины безотказной работы в период заданной наработки.

2.4.5 Для проверки этой гипотезы заполняем таблицу 5, в которую переносим часть данных из таблицы 4.

Гипотетические вероятности вычисляем по формуле:

, (18)

учитывая, что . Значения указаны в таблице Приложения А.

Заполняем столбцы и таблицы 5.

Таблица 5 – Исходные данные для определения величины критерия согласия Пирсона

	0÷ 3		0, 100	0, 052	0, 044
	3÷ 6		0, 150	0, 175	0, 004
	6÷ 9		0, 300	0, 308	0, 000
	9÷ 12		0, 300	0, 283	0, 001
	12÷ 17		0, 150	0, 169	0, 002

2.4.6 Вычисляем Пирсоновскую меру отклонения между гипотетическим и эмпирическим распределениями по формуле:

.

2.4.7 Находим число степеней свободы распределения по формуле , где – число разрядов гистограммы, 3 – число связей, наложенных на величины .

2.4.8 По таблице распределения (Приложение Б) для и находим, что .

Вывод: вычисленное значение вероятности нельзя считать пренебрежимо малой величиной, следовательно, выдвинутую гипотезу о нормальности распределения времени наработки до отказа можно принять, как непротиворечащую результатам наблюдений и можно считать, что функция распределения вероятности наработок до отказа топливных насосов авиационного двигателей описывается нормальным законом с величиной средней наработки до отказа тыc. час. и стандартным отклонением тыс. час.

2.5 Оценим техническое совершенство исследованного насоса с позиций показателей надежности. Найдем какую величину ресурса можно назначить этому изделию, чтобы обеспечить его вероятность безотказной работы .

Используем соотношение (17) и получим:

.

Откуда . По таблице Лапласа находим или тыс. час. Поэтому можно назначить ресурс насоса час. с вероятностью безотказной работы не менее 0, 99, но не более 0, 991.

Контрольные вопросы

3.1. Почему возникают отказы технических объектов?

3.2. Что такое случайная выборка из генеральной совокупности значений случайной величины?

3.3. Дайте определение понятий средняя наработка до отказа, математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации.

3.4. Дайте определение понятий функции распределения случайной величины и интенсивность отказов.

3.5. Приведите соотношение для расчёта статистических величин: вероятности, плотности распределения вероятности, функции распределения вероятности и интенсивности отказов случайной величины.

3.6. Как строится функция распределения вероятностей случайной величины?

3.7. Какую характеристику случайной величины отражает гистограмма?

3.8. Плотности распределения вероятности наработок до отказа имеет максимум при часов (рисунок 3).Означает ли это, что при наработке часов изделия отказывают реже?

3.9. В чем заключается геометрический смысл меры отклонения между гипотетическим и эмпирическим законами распределения, определяемой по критерию Пирсона?

3.10. Каков вероятностный смысл уровня значимости статистического критерия оценки правдоподобия гипотез?

3.11. Приведите выражение для плотности распределения вероятности, функции распределения вероятности наработок до отказа и функции распределения вероятности безотказной работы для нормального закона распределения вероятности.