Тема 4. Теоремы о вероятностях.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: .

Задача 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вытаскивают один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Задача 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0, 45, во вторую – 0, 35. Найти: а) вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область; б) вероятность того, что стрелок попадет в третью область.

Задача 3. В ящике имеется деталей, из которых стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная?

Задача 4. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?

Задача 5. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий: .

Задача 6. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Задача 7. В группе 7 мужчин и 3 женщины.Наудачу отбирают трех человек.Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Задача 8. В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-й шарбудет белым, 2-й – синим, 3-й – черным?

Задача 9. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0, 8, вторым стрелком – 0, 7. Найти вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.

Задача 10. Имеется два ящика по 10 деталей в каждом. В первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все вынутые детали окажутся стандартными.

Теорема сложения вероятностей совместных событий: .

Задача 11. В задаче 9 найти вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

Задача 12. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0, 88. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0, 6.

Задача 13. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Задача 14. В задаче 9 найти вероятность поражения цели, если стрелки сделают по два выстрела.

Задача 15. Один студент выучил 20 из 25 экзаменационных вопросов, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответят: а) оба студента; б) только первый студент; в) только один из них; г) хотя бы один из студентов.

Формула полной вероятности: .

Задача 16. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он имеет решать 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Задача 17. Имеется три одинаковых ящика. В первом находится 2 белые мыши и 1 серая, во втором – 3 белые и 1 серая, в третьем – 2 белые и 2 серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Задача 18. В первой коробке содержится 20 лампочек, из них 18 исправных, во второй коробке – 10 лампочек, из них 9 исправных. Из второй коробки наудачу взята лампочка и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампочка, наудачу извлеченная из первой коробки, будет исправной.

Задача 19. Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0, 8, и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0, 9.

Задача 20. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0, 9, для велосипедиста – 0, 8 и для бегуна – 0, 75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен выполнит норму.

Задача 21. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1: 4: 5. Практика показала, что телевизоры от первого, второго и третьего поставщиков не потребуют ремонта в течение гарантийного срока с вероятностями 98, 88 и 92% соответственно. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Формула Байеса: .

Задача 22. Предположим, что 5% мужчин и 0, 25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек: а) мужчина; б) женщина.

Задача 23. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй – 3 студентов, а третий – 21 студента (выбор студентов случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равна 40%, у второго – только 10%, у третьего – 70%. Пусть известно, что студент не сдал экзамен. Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?

Задача 24. Имеется три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращается в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Задача 25. Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0, 75 (первый стрелок) и 0, 80 (второй стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал второй стрелок?

Задача 26. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную, соответственно равны 0, 9, 0, 7 и 0, 8. Наудачу выбранный студент в итоге попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

Задача 27. Батарея из трех орудий произвела залп, причем в цель попали два снаряда. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания орудий в цель соответственно равны 0, 4, 0, 3 и 0, 5.