Дәлелдеуі.

Алдымен Коши есебінің интегралдық тең деуге пара-пар екендігін кө рсетейік.

Айталық, функциясы (2) шартты қ анағ аттандыратын,

кесіндісінде анық талғ ан (1) тең деудің шешімі болсын:

Соң ғ ы тепе-тең дікті х₀ -ден х -қ а дейін интегралдасақ, мынандай тепе-тең дік аламыз:

Бұ дан функциясының

(5)

интегралдық тең деудің шешімі болатынын кө реміз.

Енді керісінше, функциясы (5) тең деудің шешімі болсын:

Бұ дан болатынын кө реміз. Егер осы тепе-тең дікті дифференциалдасақ,

тепе-тең дігін аламыз.

Бұ дан шығ атын қ орытынды – Коши есебінің шешімін табу ү шін

интегралдық тең деудің шешімінің барлығ ын жә не жалғ ыздығ ын дә лелдесек жеткілікті.

Интегралдық тең деудің шешімін біртіндеп жуық тау ә дісімен іздейміз. Бұ л ә дісті Пикар ә дісі деп те атайды.

Бастапқ ы нө лдік жуық тау ретінде ізделініп отырғ ан функцияның алғ ашқ ы y₀ мә нін аламыз да, бірінші жуық тау ү шін

(6)

ө рнегін жазамыз, ал екінші жуық тау ү шін

(7)

ө рнегін жазамыз. Жалпы, кез келген -ші жуық тауды мына тү рде жазамыз:

(8)

Мұ нда . Осы кесіндіні Пеано кесіндісі деп атайды.

Енді алынғ ан {y_n} тізбегінің ә рбір мү шесі берілген облыстың ішінде жататынын кө рсетуіміз керек. Айнымалы -ты Пеано кесіндісінде ө згереді деп, жуық таулардың бастапқ ы мә ннен ауытқ уларын есептейік.

Алдымен,

Екінші жуық тау ү шін:

Жалпы, кез келген -ші жуық тау ү шін тө мендегідей тең сіздік аламыз:

(9)

Бұ л тең сіздіктер тізбектің барлық мү шелері D облысының кейбір кішірейген облысының ішінде жататынын кө рсетеді.

Енді жуық таулар тізбегінің жинақ тылығ ын кө рсетейік. Тізбектің жинақ тылығ ын дә лелдеу ү шін сол тізбектен қ ұ рылғ ан функциялық қ атарды қ арастырамыз:

(10)

Осы қ атар бірқ алыпты жинақ ты болса, онда тізбегі де бірқ алыпты жинақ ты болады, ө йткені, .

Қ атардың ә рбір мү шесін, екіншісінен бастап, Пеано кесіндісінде абсолют шамасы бойынша бағ алайық:

,

Соң ғ ы тең сіздікке Липшиц шартын пайдалансақ, онда

Осылайша,

тең сіздігі алынады. Кез келген -ші мү ше ү шін де индукция ә дісін пайдаланып, тө мендегідей тең сіздік аламыз:

Сонымен, функциялық (10) қ атардың абсолют шамасынан қ ұ рылғ ан қ атар Пеано кесіндісінде тө мендегідей сандық қ атармен бағ аланып отыр:

(11)

Бұ л қ атарды (10) функциялық қ атардың мажоранты деп атайды.

Енді осы мажоранттық қ атардың жинақ тылығ ын кө рсетейік. Даламбер белгісіне сү йенсек,

,

яғ ни, (11) қ атар жинақ ты. Сондық тан, Вейерштрасс теоремасы бойынша функциялық (10) қ атар Пеано кесіндісінің ішінде бірқ алыпты абсолютты жинақ ты. Егер қ атардың қ осындысын деп белгілесек, онда тізбектің шегі осы болады:

(10) қ атардың ә рбір мү шесі кесіндінің ішінде ү здіксіз функция болғ андық тан жә не ол қ атар бірқ алыпты жинақ ты болғ андық тан, Коши теоремасы бойынша осы кесіндінің ішінде функциясы да ү здіксіз болады.

Тізбектің бірқ алыпты жинақ тылығ ынан шарты шығ ады. Липшиц шартын пайдаланып,

тең сіздігін аламыз. Бұ л тең сіздік интегралдан шек алу ү шін сол интеграл астындағ ы ө рнектен шек алуғ а болатынын кө рсетеді, яғ ни

Осыны пайдаланып, (8) қ атынастан шек алайық:

немесе

(12)

Бұ л тепе-тең діктен j(x) функциясының Пеано кесіндісінде интегралдық тең деудің шешімі болатынын кө реміз. Сондық тан, ол Коши есебінің шешімін береді.

Коши есебінің шешімінің жалғ ыздығ ын дә лелдеу ү шін алдымен Гронуолл леммасын келтірейік.

Лемма. Кейбір аралығ ында ү здіксіз функциялары жә не тұ рақ ты саны ү шін

(13)

тең сіздігі орындалса, онда одан мынандай тең сіздік алуғ а болады:

(14)

Дә лелдеуі. (13) тең сіздікті оң жағ ындағ ы қ осындығ а бө лейік :

Екі жағ ында оң функциясына кө бейтіп, -ден -ғ а дейін интеграл алайық:

Мұ нда бө лшектің алымы бө лімінің туындысы екенін ескерсек, онда

Осыдан

Потенциалдап, одан соң берілген (13) тең сіздікті пайдалансақ, (14) тең сіздікке келеміз ( болғ анда лемманы дә лелдеу ү шін интегралдың бағ ытын ө згертсе, жеткілікті).

Енді осы (14) тең сіздікті пайдаланып, шешімнің жалғ ыздығ ын кө рсетейік.

Айталық, j(x) жә не ψ (x) функциялары ә ртү рлі екі шешім болсын:

,

Осы шешімдердің айырмасын бағ алайық:

Мұ нда , f(x)=L, C=0 екенін ескерсек, (14) тең сіздіктен тең дігі шығ атынын кө реміз, яғ ни j(x)=ψ (x), .

Сонымен, Пеано кесіндісінде Коши есебінің тек жалғ ыз ғ ана шешімі бар екені толық дә лелденді.

Ескерту-1. Шешім кесіндісінде анық талып отыр. Мұ нда , яғ ни саны М санына кері тә уелді: М саны ү лкен болса, аз сан болады. Сондық тан, шешім нү ктесінің қ ысқ а тұ йық аумағ ында анық талып отыр. Осы себепті бұ л тұ жырымды локалды теорема деп атайды. Ал шындығ ында, шешімді берілген облыстың шекарасына дейін созуғ а болады.

Ескерту-2. Ә детте, Липшиц шартының орнына одан басымырақ жә не оң ай тексерілетін шарт алынады. Дә лірек, функциясы берілген тұ йық облыста у аргументі бойынша ү здіксіз дифференциалданады – деп.

Бұ л шарт орындалғ анда Липшиц шарты ө зінен ө зі орындалады.