Теорема. У будь-якому трикутнику сума квадратів медіан дорівнює суми квадратів сторін трикутника.

Формули для обчислення площі трикутника (рис. 2)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

де h_a — висота, опущена на сторону a; r — радіус уписаного кола; R — радіус описаного кола; р — напівпериметр. Формула (5) називається формулою Герона.

Зауваження. Якщо формула Герона дає надто громіздкий вираз, то площу можна обчислити за формулою (2), де

За допомогою метричних теорем і формул для площі трикутника можна розв’язати будь-яку задачу типу: Дано три елементи трикутника, принаймні один з яких є мірою довжини. Знайти будь-який інший елемент трикутника.

Задача. Дано три сторони трикутника: а, b, с. Знайти кут α, висоту h_a, радіуси описаного (R) і вписаного (r) кіл та площу S трикутника.

Ø Маємо а ² = b ² + с ² – 2 bc cos α, звідки

2. Згідно з формулою вираження (1) знаходимо Підставляючи сюди S із формули (5), дістаємо:

де

3. Використовуючи формулу (4), знаходимо де S обчислюється за формулою (5).

4. За формулою (3) дістаємо де S визначається за формулою (5).

Наведемо ще кілька корисних метричних співвідношень у довільному трикутнику:

;

;

;

;

відстань між центрами вписаного та описаного кіл

Площа чотирикутника

де d ₁ і d ₂ — довжини діагоналей чотирикутника; α — кут між ними.

Площа паралелограма

де γ — кут між суміжними сторонами а і b.

Площа трапеції

де а і b — основи трапеції; h — її висота.