Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Концепції динамічного хаосу та фрактальної геометрії.






Самоорганізація – це спонтанне виникнення цілісних складних утворень в попередньо однорідному середовищі. Не завжди однак, усвідомлюється та обставина, що середовище це є хаотичним, і що новий порядок виникає саме з хаосу. Такий вихідний хаотичний стан передує критичному стану, в якому нерівноважність викликає дію нелінійних законів. Чітке розгалуження подальших можливостей еволюції системи (двох в ситуації біфуркації) складає вражаючий контраст впорядкованого когерентного руху елементів середовища з попереднім станом термодинамічного хаосу, в якому діють лінійні закони термодинаміки. Забезпечується дія цих законів тим, що тепловий хаотичний рух частинок, що складають середовище, руйнує, завдяки випадковим зіткненням, невеликі флуктуації, не даючи їм зростати, і середні значення величин виявляються найімовірнішими. Тому хаос такого типу називають ще статистичним. Така назва більше відповідає тенденції застосовувати відповідні уявлення за межами фізики: при розгляді популяцій в біології або в соціологічних чи економічних дослідженнях суспільного життя.

Повернемось до фізики: статистичні закони руху атомно-кінетичної теорії виступають в якості пояснювальної моделі дії законів термодинаміки. Отже, і в лінійній теорії рівноважної термодинаміки макроскопічний порядок забезпечується безладом в русі мікроскопічних складових середовища. Тобто певна єдність порядку і безладу мала місце і в царині класичної фізики. Проте першість впорядкованості залишалась в картині світу класичної науки за рахунок того, що рух мікрочастинок з їхніми зіткненнями розглядався як такий, що регулюється законами динаміки.

Оскільки стійкі варіанти самоорганізації мають місце у відкритих системах, тобто вироблена ентропія передається середовищу і змінює умови самоорганізації, після першої біфуркації наступає черга наступних. Кожне розгалуження у наступних критичних точках знову розгалужується. Стійкими стають на деякий час інші стани системи. Так, при збільшенні швидкості човна водяні вихорі роздрібнюються.

Цей каскад біфуркацій завжди обмежений. На певному кроці (часто на четвертій біфуркації) відбувається перехід до хаотичної поведінки параметру порядку системи. Це означає, що поведінка елементів середовища залишається колективною, стаючи при цьому хаотичною. Сценарії входження до такого, динамічного хаосу відомі різні. Хаотичність поведінки тут забезпечується не зовнішніми збуреннями, а самою нелінійною динамікою системи. Тому така назва: динамічний хаос.

Математичні моделі динамічного хаосу – це ітераційні формули, які можуть бути наближеним розв’язком нелінійних рівнянь або спеціально підібраною імітацією нелінійної динаміки. Динамічний хаос тому іноді називають ще алгебраїчним хаосом. Така модель, звичайно, є ідеалізованою. Існує і так званий стохастичний хаос, де параметри, що входять в ітераційні формули, випадковим чином змінюються.

Отже, однією з головних ознак впорядкованості, притаманних динамічному хаосу, є та обставина, що складна нелінійна динаміка розгортається за певною, доволі простою, формулою. Саме модель динамічного хаосу добре пояснює чутливість нелінійних процесів до початкових умов, оскільки найменші розбіжності початкових умов роздмухуються нелінійністю. Найвідоміший приклад такої чутливості пов’язано з так званим “дивним” (бо хаотичним) атрактором Е.Лоренца, побудованим при поясненні метеорологічних процесів. Мова йде про метелика, помах крилець якого в дельті Амазонки може спричинити буревій в Північній Америці. Ця метафора навіяна, мабуть, самою формою фазового портрету атрактора Лоренца, схожого на двокрилого метелика

(дивись малюнок на слайді). Кожне з “крилець” утворене траєкторіями нелінійної хаотичної динаміки, між якими можливе випадкове перестрибування. Тому при всій детермінованості кожного кроку нелінійної динаміки (а динамічний хаос тому має ще одну назву – детермінований хаос) довгострокове прогнозування є неможливим.

В динамічному (детермінованому) хаосі кожна точка фазового простору є особливою точкою, тобто точкою виникнення причини, і кожний крок нелінійної динаміки пов’язаний з випадковим вибором можливих варіантів. Таким чином Лапласівський детермінізм демонструє свою незастосовність саме в царині детермінованих процесів. Нескінченний розум не має сенсу примислювати, тому що принципова невизначеність вибору не долається його потужністю. Неможливість довгострокового прогнозування процесу, кожний крок якого детермінований, пояснюється роздмухуванням найдрібніших різниць у вихідних значеннях параметрів.

Як зрозуміти згадане роздмухування вихідної різниці? Проілюструємо це на одній з найбільш вивчених ітераційних формул нелінійної динаміки. Вона пов’язана з піднесенням до квадрату початкового значення змінного параметру. Якщо ми починаємо з величин, що трошки менші, чи трошки більші одиниці, траєкторії нелінійної динаміки врешті дуже розійдуться, оскільки в першому випадку атрактором є нуль, а в другому атрактор – це нескінченність. Вихідна ж різниця може бути забезпечена в природі навіть квантовими флуктуаціями. Таким чином, навіть малесенька невизначеність в подальшому дається взнаки.

Ось що пишуть з цього приводу Х-О. Пайтген і П.Х Ріхтер у передмові до своєї відомої книги “Краса фракталів”: “ Будь-який нелінійний процес призводить до розгалуження, до роздоріжжя, в якому система може обрати той або інший шлях. Ми маємо справу з вибором рішень, наслідки яких неможливо передбачити, оскільки для кожного з цих рішень є характерним підсилення. Найнезначніші неточності роздмухуються і мають далекосяжні наслідки. В кожний окремий момент причинний зв’язок зберігається, але після кількох розгалужень його вже не видно. Рано чи пізно початкова інформація про стан системи перестає бути корисною. В ході еволюції будь-якого процесу інформація генерується і запам’ятовується. Закони природи допускають для подій множину різних варіантів, але наш світ має одну-єдину історію.” [21, 17]

Отже, далекосяжні прогнози неможливі. Але гарна новина пов’язана з утворенням стійких складних структур в полі конкуренції різних атракторів. Так, в нашому прикладі з піднесенням до квадрату на кожному кроці ітерації, коли вихідне значення змінної х дорівнює одиниці, всі наступні піднесення до квадрату залишать значення х незмінним. Отже, на фазовій площині, з якої атракори нуль і нескінченність приберуть все інше, залишиться стійка траєкторія, коло з радіусом одиниця. Якщо ж ітераційна формула, окрім піднесення до квадрату передбачає ще й додавання на кожному кроці ітерація певної комплексної величини, то замість кола, матимемо більш складну і примхливу криву.

Відомий математик Бенуа Мандельброт, розглянувши варіанти співвідношення початкового значення х і різних комплексних значень постійної С, отримав множину Мандельброта, приналежність до якої визначає можливості утворення різноманітних складних структур. Він назвав ці структури фракталами, виходячи з того, що їхня розмірність є дробовою, а не цілою. При цьому він скористався з результатів, отриманих ще на початку ХХ століття Жоліа, Фату, Хаусдорфом, Кантором, Кохом та іншими. Результати ці тоді вважались екзотичними і такими, що не мають стосунку до реальності. Заслуга Мандельброта полягає, крім іншого, в тому, що він визначив фрактальну геометрію як геометрію хаосу. Що ж до стосунку до реальності, то схожість фрактальних структур на структури, що ми постійно спостерігаємо навколо себе, вражає. Співставлення певних кольорів певним параметрам, дозволяє візуалізувати їх нелінійну динаміку, відповідну нелінійним ітераційним формулам.

Складність фракталів принципово відрізняється від розуміння складності, притаманного Евклідовій геометрії. Там складне розглядалось як складене з простого. Будь яку складну лінію або фігуру можна було звести до суми простих відрізків, дуг, трикутників абощо, просто зменшуючи масштаби розгляду. Складність фракталів принципово інша: змінюючи масштаб, ми знаходимо таку ж складність. Для геометричних фракталів ця властивість носить назву масштабної інваріантності, оскільки відповідність є повною (власне, ця відповідність визначається способом їх побудови). Для алгебраїчних фракталів, що утворюються в полі конкуренції атракторів динамічного хаосу, мова йде, скоріше, про самоподобу. Власне, ця властивість є однією з визначальних ознак фрактала.

Фракталом називають структури, що складаються з частин, які в певному розумінні подібні цілому. “Всі фігури, які я досліджував і називав фракталами, -- пояснював Мандельброт, -- в моєму розумінні володіли властивістю бути “нерегулярними, але самоподібними”

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.