Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины X – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности .

.

(27)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [ a, b ] – это определенный интеграл

.

(28)

Математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина. Она характеризует среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. M(C)=C – математическое ожидание константы равно самой константе.

2. .

3. .

4. .

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение – это числовые характеристики случайной величины, которые позволяют оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Отклонением называют разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, т. е. .

Пусть закон распределения дискретной случайной величины известен:

Так как одни возможные отклонения положительны, а другие отрицательны, то математическое ожидание отклонения обладает важным свойством:

,

т.е. математическое ожидание отклонения всегда равно нулю.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины

.

(29)

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой

,

(30)

т.е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины:

.

(31)

В последнем выражении все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку (a, b).

Дисперсия случайной величины (как дискретной, так и случайной) есть неслучайная величина (постоянная величина).

Свойства дисперсии:

1. D (C) = 0.

2. D (CX) = С²D (X).

3. D (X+Y) = D (X) + D (Y).

4. D (C+X) = D (X).

5. D (X-Y) = D (X) – D (Y).

Если равномерно распределенная случайная величина задана в интервале [ a, b ], то ее математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны:

, , .

(32)