Простейшие преобразования на плоскости

Рассмотрим преобразования на плоскости.

Для начала заметим, что точки на плоскости задаются с помощью двух ее координат. Таким образом, геометрически каждая точка задается значениями координат вектора относительно выбранной системы координат. Координаты точек можно рассматривать как элементы матрицы [ x, y ], т.е. в виде вектор-строки или вектор-столбца. Положением этих точек управляют путем преобразования матрицы.

Точки на плоскости x y можно перенести в новые позиции путем добавления к координатам этих точек констант переноса:

Рассмотрим результаты матричного умножения матрицы [ x, y ], определяющей точку Р и матрицы преобразований 2х2 общего вида:

Проведем анализ полученных результатов, рассматривая x * и y * как преобразованные координаты. Для этого исследуем несколько частных случаев.

Рассмотрим случай, когда a = d = 1 и c = b = 0. Матрица преобразований приводит к матрице, идентичной исходной,

При этом изменений координат точки Р не происходит.

Если теперь d = 1, b = c = 0, a = const, то:

Как видно, это приводит к изменению масштаба в направлении х, так как х^*=ах. Следовательно, данное матричное преобразование эквивалентно перемещению исходной точки в направлении х.

Теперь положим b = c = 0, т.е.:

В результате получаем изменение масштабов в направлениях x и y. Если a¹ d, то перемещения вдоль осей неодинаковы. Если a = d > 1, то имеет место увеличение масштаба координат точки Р. Если 0 < a=d < 1, то будет иметь место уменьшение масштаба координат точки Р.

Если a или (и) d отрицательны, то происходит отображение координат точек. Рассмотрим это, положив b = c = 0, d = 1 и а = -1, тогда:

Произошло отображение точки относительно оси у. В случае b = c = 0,
a = 1, d = -1, отображение происходит относительно оси х. Если b = c = 0,
a = d < 0, то отображение будет происходить относительно начала координат.

Заметим, что отображение и изменение масштаба вызывают только диагональные элементы матрицы преобразования.

Преобразование общего вида, примененное к началу координат не приведет к изменению координат точки (0, 0). Следовательно, начало координат инвариантно при общем преобразовании. Это ограничение преодолевается за счет использования однородных координат.