Frühgeschichte der griechischen Mathematik.

/1/ Das Studium der Mathematik in der griechischen Frü hzeit verfolgt ein hauptsä chliches Ziel, nä mlich die Gewinnung einer Einsicht in die Stellung des Menschen innerhalb des Kosmos. Die Mathematik diente dazu, Ordnung im Chaos zu schaffen, Ideen in logischen Ketten anzuordnen und fundamentale Prinzipien zu entdecken. Sie war die bestimmte unter allen Wissenschaften.

/2/ Keine primä ren Quellen sind bekannt, die uns ein Bild von der frü hen Entwicklung der griechischen Mathematik vermittelt kö nnen. Die klassische Philologie hat die verbliebenen Texte¹, die aus dem vierten Jahrhundert v. u. Z. und etwas spä terer Zeit stammen, und wir besitzen Aufgaben von EUKLID, ARCHIMEDES, APOLLONIUS und anderen groß en Mathematikern des Altertums. Aber diese Texte reprä sentieren eine bereits voll entwickelte mathematische Wissenschaft.

/3/ Im Rahmen der gesellschaftlichen und politischen Kä mpfe legten Philosophen und Lehrer ihre Theorien, und darunter auch die neue Mathematik, dar. Zum ersten Mal in der Geschichte untersuchte eine Gruppe von kritischen Menschen, die Sophisten, die weniger als irgendeine andere frü here Gruppe von Gelehrten durch den Einfluss der Tradition gehemmt war, Probleme mathematischer Natur mehr im Geiste des Verstehens als in dem der Nü tzlichkeit. Leider ist nur ein einziges vollstä ndiges mathematisches Fragment aus dieser Zeit vorhanden; es wurde von dem ionischen² Philosophen HIPPOKRATES von Chios geschrieben. Dieses Fragment zeigt einen hohen Grad der Vollkommenheit des mathematischen Denkens und behandelt typischerweise ein merkwü rdig “unpraktisches”, aber theoretisch wertvolles Thema, die so genannten “ lunulae ” – die kleinen Mö ndchen oder Sicheln, die von zwei Kreisbö gen begrenzt werden.

/4/ Dieser Gegenstand – solche begrenzte Flä chen zu finden, die sich rational durch die Durchmesser ausdrü cken lassen³ – hat eine unmittelbare Beziehung zum Problem der Quadratur des Kreises, einem zentralen Problem der griechischen Mathematik. Bei der Untersuchung dieses Problems zeigte HIPPOKRATES, dass die Mathematiker des Goldenen Zeitalters in Griechenland ein geordnetes System der ebenen Geometrie besaß en, in dem sich das Prinzip der logischen Deduktion, Ü bergang von einer Tatsache zur nä chsten “ apagage ”, voll durchgesetzt hatte. Es war der Anfang einer Axiomatik gemacht worden. HIPPOKRATES untersuchte den Flä cheninhalt der ebenen Figuren, die von geradlinigen Strecken oder von Kreisbö gen begrenzt werden. Er lehrt, dass sich die Flä cheninhalte von ä hnlichen Kreisabschnitten ebenso zueinander verhalten wie die Quadrate ihrer Sehnen. Er kennt den Lehrsatz des PYTHAGORAS und ebenso die entsprechende Ungleichung fü r nichtrechtwinklige Dreiecke.

/5/ Diese Probleme waren folgende:

1 – Die Trisektion des Winkels; dies bedeutet das Problem, einen gegebenen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen.

2 – Die Verdopplung des Wü rfels; dies bedeutet, die Seite eines solchen Wü rfels zu finden, dessen Volumen zweimal so groß wie das eines gegebenen Wü rfels (das so genannte Delische Problem).

3 – Die Quadratur des Kreises; dies bedeutet, ein Quadrat mit einem Flä cheninhalt zu finden, der dem Inhalt einer gegebenen Kreisflä che gleichkommt.

/6/ Die Bedeutung dieser Probleme beruht auf der Tatsache, dass sie durch die Konstruktion einer endlichen Anzahl von geraden Linien und Kreisen nicht exakt gelö st werden kö nnen, sondern hö chstens nä herungsweise, und dass sie deshalb als ein Hilfsmittel zum Eindringen in neue Berichte der Mathematik dienten. Sie fü hrten zur Entdeckung der Kegelschnitte, einiger kubischer Kurven, Kurven vierter Ordnung.