Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Задача перевода из одной системы счисления в другую часто встречается при программировании и особенно часто – при программировании на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти, для получения двоичного или шестнадцатеричного эквивалента десятичного числа. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, HTML и Си требуют задания параметров в шестнадцатеричной системе счисления. Отыскать неисправность в ЭВМ практически невозможно без представлений о двоичной системе счисления.

Сначала рассмотрим перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и восьмеричную и наоборот. Это наиболее просто в связи с тем, что 16 = 2⁴, а 8 = 2³.

Правило 1:

1.1. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное надо каждую цифру исходного шестнадцатеричного числа заменить четырехразрядным двоичным числом. Незначащие нули отбросить.

1.2. Для перевода восьмеричного числа в двоичное надо каждую цифру исходного восьмеричного числа заменить трехразрядным двоичным числом. Незначащие нули отбросить.

Примеры:

1) Перевести число 7D2, ЕН в двоичную систему счисления.

Решение:

Буква Н означает, что число 7D2, Е представлено в шестнадцатеричной системе счисления. Используем правило перевода.

Отмеченные крайние нули следует отбросить.

2) Перевести число 305, 4₁₆ в двоичную систему счисления.

305, 4₁₆ = 0011 0000 0101, 0100₂ = 1100000101, 01₂

3) Перевести число 127, 32₈ в двоичную систему счисления.

Решение:

Отмеченные крайние нули следует отбросить.

Правило 2:

2.1. Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную надо число разбить на четверки влево и вправо от запятой. Крайние группы, если необходимо дополнить нулями. Затем каждую четверку двоичных цифр заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

2.2. Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную надо число разбить на тройки влево и вправо от запятой. Крайние группы, если необходимо дополнить нулями. Затем каждую тройку двоичных цифр заменить соответствующей восьмеричной цифрой.

Примеры:

1) Перевести число 10111110001, 001В в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

Буква В означает, что число представлено в двоичной системе счисления. Используем правило перевода.

2) Перевести число 1010111, 1101101₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

1010111, 1101101₂ =0101 0111, 1101 1010₂ = 57, DA₁₆

3) Перевести число 1010111, 1101101₂ в восьмеричную систему счисления.

Правило 3:

Задано число С, представленное в системе счисления с основанием S:

C = C_n C_n-1 …C₁ C₀ C_-1 C_-m

Нужно перевести его в h-систему, выполняя действия в новой системе счисления (в h-системе). Для этого нужно представить его в виде суммы степеней S:

C = C_n Sⁿ + C_n-1 S^n-1 +…+ C₁ S¹ + C₀ S⁰ + C_-1 S^-1 +…+ C_-m S^-m,

где основание S, коэффициенты С и номера разрядов i выражены в новой h-системе. Разряды нумеруются от запятой влево (0, 1, 2, и т.д.) и вправо (-1, -2 и т.д.).

Примеры:

1) Перевести число 2Е5, А₁₆ в десятичную систему счисления.

В данном случае S = 16, но все расчеты производим в десятичной системе счисления. Номера разрядов: влево от запятой 0, 1, 2, вправо от запятой -1. Во втором разряде стоит коэффициент равен 2, т.е. С₂ = 2; в первом разряде С₁ = Е, что соответствует числу 14 в десятичной системе счисления; в нулевом разряде С₀ = 5; в минус первом разряде С_-1 = А, что соответствует числу 10 в десятичной системе счисления. Подставляем эти значения в формулу.

2Е5, А₁₆ = 2 × 16² + 14 × 16¹ + 5 × 16⁰ + 10 × 16^-1 = 512 + 224 + 5 + 0, 625= = 741, 625₁₀

2) Перевести число 52₁₀ в двоичную систему счисления.

В данном случае переводим число из системы с основанием 10, но все расчеты производим в двоичной системе счисления, следовательно, в двоичной системе число 10 соответствует числу 1010, т.е. S = 1010. В первом разряде коэффициент равен 5, что соответствует двоичному числу 101, т.е. С₁ = 101; в нулевом разряде стоит коэффициент 2, что соответствует числу 10 в двоичной системе счисления, т.е. С₀ = 10.

52₁₀ = 101 × 1010¹ + 10 × 1010⁰ = 110010 + 10 = 110100₂

3) Перевести число 1101, 101₂ в десятичную систему счисления.

В данном случае S = 2, но все расчеты производим в десятичной системе счисления. Номера разрядов: влево от запятой 0, 1, 2, 3, вправо от запятой -1, 2, -3. В третьем разряде стоит коэффициент равен 1, т.е. С₃ = 1; во втором разряде С₂ = 1; в первом разряде С₁ = 0; в нулевом разряде С₀ = 1; в минус первом разряде С_-1 = 1; в минус втором разряде С_-2 = 0; в минус третьем разряде С_-3 = 1. Подставляем эти значения в формулу.

1101, 101₂ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 0 × 2^-2 + 1 × 2^-3 = = 8 + 4 + 1 + 0, 5 + 0, 125 = 13, 625₁₀

4) Перевести число 127, 4₈ в десятичную систему счисления.

В данном случае S = 8, но все расчеты производим в десятичной системе счисления. Номера разрядов: влево от запятой 0, 1, 2, вправо от запятой -1. Во втором разряде С₂ = 1; в первом разряде С₁ = 2; в нулевом разряде С₀ = 7; в минус первом разряде С_-1 = 4. Подставляем эти значения в формулу.

127, 4₈ = 1 × 8² + 2 × 8¹ + 7 × 8⁰ + 4 × 8^-1 = 64 + 16 + 7 + 0, 5 = 87, 5₁₀

Этот способ удобен при S< h и особенно для ручного перевода в десятичную систему счисления.

Правило 4:

Для перевода целого числа из S-системы в h-систему счисления в арифметике S-системы нужно последовательно делить это число и получающиеся частные на h до тех пор, пока частное не станет меньше h. Старшей цифрой в новой записи числа будет последнее частное, а следующие за ней цифры дают остатки, вписанные в последовательности, обратной их получению. Все вычисления производятся в старой S-системе. (При S< h прежде, чем записать число, надо получившиеся остатки переписать в цифры h-системы).

Дробные числа наоборот умножаются на h до тех пор, пока не получится целое число.

Примеры:

1) Перевести число 75₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

	2							8				16
74		2					72		8		64
	36		2					8
		18		2							↓
			8		2						В
				4
					2

70₁₀ = 1001011₂ = 113₈ = 4В₁₆.

2) Перевести 12, 375₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

Целую и дробную часть переводим по-разному. Сначала переводим целую часть (делением на основание новой системы счисления).

		2
	12		2
		6
			2

12₁₀ = 1100₂ = 14₈ = С₁₆.

Таким образом, 12, 375₁₀ = 1100, 011₂ = 14, 3₈ = С, 8₁₆.