II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (ФНП)

I. Интегральное исчисление

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства.
2. Методы интегрирования: по частям и замены переменных.
3. Интегрирование рациональных функций.
4. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
5. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка.
6. Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости.
7. Суммы Дарбу и их свойства.
8. Критерии интегрируемости.
9. Достаточное условие интегрируемости:

a) Интегрируемость непрерывных функций;

b) Интегрируемость монотонных ограниченных функций;

c) Интегрируемость кусочно-непрерывных функций.

10. Свойства интеграла Римана и интегрируемых функций:

a) Линейность;

b) Аддитивность;

c) Монотонность.

11. Первая теорема о среднем.

12. Свойства интеграла Римана с переменным верхним пределом:

a) Непрерывность;

b) Дифференцируемость;

c) Формула Ньютона-Лейбница.

13. Формулы интегрирования по частям и замены переменной в определенном интеграле.

14. Вторая теорема о среднем.

15. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

16. Геометрическое приложение интеграла Римана:

a) Площадь некоторых плоских фигур;

b) Длина кривой;

c) Объем тела вращения;

d) Площадь поверхности вращения.

17. Механические и физические приложения:

a) Вычисление массы;

b) Статистические моменты;

c) Координаты центра масс;

d) Вычисление работы.

18. Определение несобственного интеграла. Критерий Коши и достаточное условие сходимости несобственных интегралов.

19. Абсолютная в условиях сходимость несобственных интегралов. Специальные признаки сходимости.

20. Формулы замены переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле.

21. Главное значение несобственного интеграла.

II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (ФНП)

22. Метрическое пространство R^n. Топология в R^n. Основные понятия в определениях.

23. Основные теоремы в R^n.

24. Предел в ФНП и его свойства.

25. Теорема о повторных пределах.

26. Непрерывные функции в точке. Локальные свойства. Точки разрыва, линии разрыва.

27. Свойства функций непрерывных в компакте.

28. Теорема о промежуточном значении.

29. Предел и непрерывность композиции функций.

30. Дифференцируемые функции в точке. Необходимые и достаточные условия. Связь с непрерывностью.

31. Дифференциал и его геометрический смысл. Применение в приближенных вычислениях.

32. Теорема о дифференцировании сложной функции.

33. Инвариативность формы первого дифференциала.

34. Дифференциалы высших порядков.

35. Формулы конечных приращений.

36. Производная по направлению, механический смысл.

37. Градиент и его свойства.

38. Теорема о равенстве смешанных производных.

39. Теорема существования и дифференцирования неявной функции.

40. Формула Тейлора.

41. Касательная плоскость.

42. Экстремумы ФНП. Необходимые и достаточные условия.

43. Условный экстремум. Метод Лагранжа.