Перевод чисел в различные системы счисления

Для перевода числа из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием поступают следующим образом:

а) Для перевода целой части числа его делят нацело на основание системы, фиксируя остаток. Если неполное частное не равно нулю продолжают делить его нацело. Если равно нулю остатки записываются в обратном порядке.

б) Для перевода дробной части числа ее умножают на основание системы счисления, фиксируя при этом целые части полученных произведений. Целые части в дальнейшем умножении не участвуют. Умножение производиться до получения 0 в дробной части произведения или до заданной точности вычисления.

в) Ответ записывают в виде сложения переведенной целой и переведенной дробной части числа.

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления

Пример:

Перевести число 75, 375 в двоичную систему счисления.

а) переведем в двоичную систему целую часть - 75

75: 2 = 37 (1)

37: 2 = 18 (1)

18: 2 = 9 (0)

9: 2 = 4 (1)

4: 2 = 2 (0)

2: 2 = 1 (0)

1: 2 = 0 (1)

Закончив деление, запишем остатки в обратном порядке, и получим искомый результат:

75=10010112

б) переведем в двоичную систему дробную часть - 0, 375

0, 375

0, 750

1, 500

1, 000

Выделенные числа запишем в естественном порядке и получим дробное число в двоичной системе счисления:

0, 375 = 0, 0112

в) получив целую и дробную части числа в двоичном виде (75=10010112 и 0, 375 = 0, 0112) можем сделать вывод:

75, 375=75+0, 375 = 10010112+0, 0112=1001011, 0112, значит 75, 375=1001011, 0112

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления.

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

101101102 = (1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) = 128+32+16+4+2 = 18210

Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

Пример:

Представить десятичное число 157, 23 в шестнадцатеричной системе счисления. Целая часть числа равна 157, дробная - 0, 23.

а) переведем в двоичную систему целую часть - 157

157: 16 = 9 (13 или D)

9: 16 = 0 (9)

Закончив деление, запишем остатки в обратном порядке, и получим искомый результат:

157=9D 16

а) переведем в двоичную систему дробную часть - 0, 23.

Результат умножения 0, 23 на 16 равен 3, 68. Целая часть этого числа равна 3, значит первый коэффициент дробной части равен 3. Дробная часть равна 0, 68. Снова умножим ее на основание системы: 0, 68*16=10, 88. Целая часть равна 10 или в шестнадцатеричной системе А. Дробная часть равна 0, 88, она опять умножается на 16 и так далее.

Выпишем весь процесс:

0, 23 * 16 = 3, 68 (3)

0, 68 * 16 = 10, 88 (А)

0, 88 * 16 = 14, 08 (Е)

0, 08 * 16 = 1, 28 (1)

0, 28 * 16 = 4, 48 (4)

0, 48 * 16 = 7, 68 (7)

0, 68 * 16 = 10, 88 (А)

0, 88 * 16 = 14, 08 (Е)

0, 08 * 16 = 1, 28 (1)

0, 28 * 16 = 4, 48 (4)

0, 48 * 16 = 7, 68 (7)

0, 68 * 16 = 10, 88 (А)

0, 88 * 16 = 14, 08 (Е)

Замечаем, что последовательность чисел 0, 68; 0, 88; 0, 08; 0, 28; 0, 48 повторилась уже 2 раза и начинается в третий раз. Получается бесконечная шестнадцатеричная дробь в которой период (бесконечно повторяемая последовательность цифр) заключен в скобки:

157, 23=9D, 3(АЕ147)16

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разбить данное двоичное число вправо и влево от запятой на триада (три цифры) и представить каждую триаду соответствующим восьмеричным кодом. При невозможности разбиения на триады допускается добавление нулей слева в целой записи числа и справа в дробной части числа. Для обратного перевода каждую цифру восьмеричного числа представляют соответствующей триадой двоичного кода.

Пример: Переведем число 1001011, 0112 в восьмеричную систему счисления. Разобьем данное число на триады, приписав слева недостающие нули:

001 001 011, 011

1 1 3, 3

и заменим каждую триаду соответствующим восьмеричным кодом (см. таблицу). Можем сделать вывод:

1001011, 0112 = 113, 38

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

Пример:

Переведем число 347, 258 в двоичную систему счисления. Каждую цифру восьмеричного числа заменим соответствующей триадой (см. таблицу).

3 4 7, 2 5

011 100 111, 010 101

Запишем ответ, удалив нули слева в записи числа:

347, 258 = 11100111, 0101012

Шестнадцатеричная система счисления

Восьмеричная система компактнее двоичной и с более простым переводом чисел, однако, современные требования к ЭВМ заставили создавать шестнадцатеричную систему счисления.

24 = 16 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Правило перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную: разбить двоичное число вправо и влево от запятой на тетрады (по 4 цифры) и представить каждую тетраду соответствующим шестнадцатеричным кодом. При невозможности разбиения на тетрады допускается добавление нулей слева в целой записи числа и справа в дробной части числа. Для обратного перевода каждую цифру шестнадцатеричного числа представляют тетрадой двоичного кода.

Пример: перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

Переведем число 1001011, 0112 в шестнадцатеричную систему счисления. Разобьем данное число на тетрады, приписав слева в целой части, и справа в дробной части недостающие нули:

0100 1011, 0110

4 В, 6

и заменим каждую тетраду соответствующим шестнадцатеричным кодом (см. таблицу). Можем сделать вывод:

1001011, 0112 = 4В, 616

Пример: перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

Переведем число А4F, C516 в двоичную систему счисления. Каждую цифру шестнадцатеричного числа заменим соответствующей тетрадой (см. таблицу).

A 4 F, C 5

1010 0100 1111, 1100 0101

Запишем ответ, удалив нули слева в записи числа:

A4F, C516 = 101001001111, 110001012
2 Практическая часть