Нормальный закон распределения. Определение:Непрерывная случайная величина Х имеетнормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

а)

б) Воспользуемся формулой:

Подставив a=28, b=38, m=32, σ =4, получим

По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1, 5)=0, 4332, Ф(1)=0, 3413.

Итак, искомая вероятность:

P(28< X< 38)= 0, 4332+0, 3413=0, 7745.

Задачи для самостоятельной работы

3.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3; 5). Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(4< х< 6).

3.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [2; 7]. Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(3≤ х≤ 6).

3.3. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды желтый и 30 секунд красный и т.д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.

3.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х- время ожидания поезда.

3.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения:

F(x)= 0 при х< 0,

1-е^-8х при х≥ 0.

3.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

f(x)= 0 при х< 0,

0, 7•е^{-0, 7х} при х≥ 0.

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х.

3.7. Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей:

f(x)= 0 при х< 0,

0, 4 •е^{-0, 4 х} при х≥ 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2, 5; 5).

3.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

F(x)= 0 при х< 0,

1-е^{-0, 6х} при х≥ 0

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка [2; 5].

3.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10; 14).

3.10. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3, 5 и дисперсией 0, 04. Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка [3, 1; 3, 7].

3.11. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1. Какое из событий: |Х|≤ 0, 6 или |Х|≥ 0, 6 имеет большую вероятность?

3.12. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.Из какого интервала (-0, 5; -0, 1) или (1; 2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью?

3.13. Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M(X)=10ден.ед. и σ (Х)=0, 3 ден.ед. Найти:

а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9, 8 ден.ед. до 10, 4 ден.ед.;

б)с помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находится текущая цена акции.

3.14. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отношением σ =5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не произойдет по абсолютной величине 3г.

3.15. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12, 6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11, 4; 13, 8) равна 0, 6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.

3.16. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12 и D(X)=36.Найти интервал, в который с вероятностью 0, 9973 попадет в результате испытания случайная величина Х.

3.17. Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения. Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и σ (Х)=0, 7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат?

3.18. Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0, 014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1% номинала.

Ответы

3.1.

0 при х≤ -3,

а) f(х)= 1/8 при -3< х< 5,

0 при х≥ 5.

б) 0 при х≤ -3,

F(х)= при -3< х≤ 5,

1 при х> 5.

в) M(X)=1, D(X)=16/3 σ (Х)= 4/√ 3

г)1/8.

3.2.

0 при х< 2,

а) f(х)= 1/5 при 2≤ х≤ 7,

0 при х> 7.

б) 0 при х≤ 2,

F(х)= при 2< х≤ 7,

1 при х> 7.

в) M(X)=4, 5, D(X) =, σ (Х)=

г)3/5.

3.3. 40/51.

3.4. 7/12, M(X)=1.

3.5. D(X) = 1/64, σ (Х)=1/8

3.6. F(x)= 0, при х< 0,

1-е^{-0, 7х} при х≥ 0.

M(X)=, D(X) =, σ (Х)=.

3.7. Р(2, 5< Х< 5)=е ^-1-е^-2≈ 0, 2325

3.8. Р(2≤ Х≤ 5)=0, 252.

3.9. а)

б) Р(10< Х< 14)≈ 0, 1574.

3.10. а)f(x)=,

б) Р(3, 1≤ Х≤ 3, 7) ≈ 0, 8185.

3.11. |x|≥ 0, 6.

3.12. (-0, 5; -0, 1).

3.13. а) Р(9, 8≤ Х≤ 10, 4) ≈ 0, 6562.

б)(9, 1; 10, 9)

3.14. 0, 111.

3.15. σ =1, 2.

3.16. (-6; 30).

3.17. 0, 4%.

3.18. 0, 8472.