Парциальные системы и частоты, нормальные координаты и частоты

Любую колебательную систему с двумя степенями свободы можно представить как две системы с одной степенью свободы, связанные между собой. Из-за наличия этой связи колебания в одной системе влияют на колебания в другой системе, и наоборот. Такие системы, на которые можно разбить сложную колебательную систему, называются парциальными системами. Парциальная колебательная система описывается одной обобщённой координатой и получается из полной системы, если все остальные обобщённые координаты положить равными нулю. Частоты свободных колебаний парциальных систем называются парциальными частотами полной системы.

Разбиение полной системы на парциальные неоднозначно, поскольку независимые координаты могут быть выбраны различными способами. Так, например, в колебательном контуре, изображённом на рис. 57, в качестве независимых координат можно выбрать любую пару токов i 1 и i 2; i 1 и i 3 или i 2 и i 3, и тогда парциальные системы будут иметь вид, представленный на рис. 58. Соответственно меняются и парциальные частоты. Для независимых координат i 1 и i 2 они равны ,   для i 1 и i 3 - ,   , для i 2 и i 3 - ,   . Характер связи между парциальными системами также зависит от выбора независимых переменных. На рис. 58, а связь индуктивная, 58, б - емкостная и 58, в - смешанная. В качестве независимых переменных в контуре на рис. 57, можно выбрать также напряжения на конденсаторах u 1 и u 2. В этом случае парциальные системы получаются при коротком замыкании конденсаторов C 1 и C 2. Соответствующие парциальные частоты равны ,   . Физически ясно, что движение в полной системе при заданных начальных условиях будет одним и тем же, но запись его в различных координатах различна.

Рис. 57. Схема электрического колебательного контура с двумя степенями свободы. а) б) в) Рис. 58. Различные варианты разбиения системы, показанной на рис. 57, на парциальные системы. Рис. 59. Два связанных маятника.

Теперь проведём изучение свободных колебаний в системе с двумя степенями свободы на примере двух маятников, связанных пружиной и совершающих колебания в плоскости рисунка (рис. 59).

Если углы отклонения маятников от положения устойчивого равновесия достаточно малы, то кинетическая и потенциальная энергии системы равны

,

,

где k - жёсткость пружины. Тогда уравнения движения системы (уравнения Лагранжа):

,	(7.1)
.	(7.2)

Получим уравнения колебаний парциальных систем. Положив в (7.1) j ₂ = 0, получим уравнение колебаний первой парциальной системы

с собственной (парциальной) частотой n ₁:

.

(7.3)

Из (7.2) при j ₁ = 0 получим выражение для второй парциальной колебательной системы

с парциальной частотой

.

(7.4)

Если ввести коэффициенты связи , , то уравнения колебаний (7.1) и (7.2) принимают симметричный вид

,   .

(7.5)

Будем искать решение системы двух линейных дифференциальных уравнений (7.5) в виде гармонических колебаний

,  

(фаза одинаковая, так как система без потерь). Подставляя решения в (7.5), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд A и B:

,   .

(7.6)

Система уравнений имеет нетривиальное решение, если её детерминант равен нулю, т. е. если

.

Решение полученного биквадратного уравнения даёт две возможные частоты колебаний системы:

.

(7.7)

Частоты w ₁ и w ₂ не равны парциальным частотам n ₁ и n ₂ и называются собственными или нормальными частотами системы. Нормальные частоты системы не зависят от выбора координат. Они определяются только свойствами системы.

Если выполняется (7.7), то существуют нетривиальные решения системы (7.6), и тогда можно найти коэффициенты распределения амплитуд на нормальных частотах, т. е. на частотах w ₁ и w ₂:

(7.8)

Таким образом, амплитуда колебаний одного из маятников на одной из нормальных частот может быть произвольной (она определяется начальными условиями). Амплитуда колебаний второго маятника на той же частоте всегда находится в определённом отношении к амплитуде колебаний первого маятника.

Общее решение уравнений (7.5) запишется в виде суммы гармонических колебаний с частотами w ₁ и w ₂:

(7.9)

где постоянные A ₁, A ₂, y ₁ и y ₂ определяются начальными условиями.

Можно ввести нормальные координаты

,   .

(7.10)

Какие бы начальные условия мы не задавали, нормальные координаты всегда совершают гармонические колебания со своей частотой. Координаты j ₁ и j ₂ связаны с нормальными координатами соотношением, которое следует из сравнения (7.9) и (7.10):

,   .

(7.11)

Видно, что связь между координатами линейная. Естественно, что уравнения колебаний для нормальных координат будут такими

,   .

(7.12)

Особенностью уравнений движения, записанных в нормальных координатах, является отсутствие членов, описывающих связи между системами, т. е. система разбивается на две независимые системы. За связь, вообще говоря, отвечает слагаемое, содержащее произведение парциальных координат в уравнении Лагранжа. Следовательно, в выражениях для кинетической и потенциальной энергий системы, записанных в нормальных координатах, не содержится произведения координат.

Рис. 60. График Вина.

Рис. 61. Зависимость коэффициентов распределения от парциальных частот.

Рассмотрим зависимость нормальных частот системы от соотношения парциальных частот маятников. С помощью соотношения (7.7) можно построить график зависимости квадратов нормальных частот от парциальных. Для определённости будем считать, что изменяется только одна из парциальных частот, например n ₂. Тогда график такой зависимости, называемый графиком Вина, будет иметь вид, представленный на рис. 60. Как видно, при любом n ₂ парциальные частоты лежат между собственными частотами. Это свойство является общим для любых консервативных систем с двумя степенями свободы.

Из уравнения (7.7) видно, что если парциальные частоты сильно различаются, то при не слишком сильной связи (), нормальные частоты близки к парциальным частотам (w _{1, 2}» n _{1, 2}). По мере сближения парциальных частот нормальные частоты отходят от парциальных. Наибольшее отличие w _{1, 2} от n _{1, 2} наблюдается вблизи равенства парциальных частот (n ₁ = n ₂).

Построим теперь график, показывающий поведение коэффициентов c ₁ и c ₂ при изменении парциальной частоты n ₂ (рис. 61). Так как n ₁ всегда больше w ₁ и меньше w ₂, то из соотношений (7.8) следует, что c ₁ всегда больше нуля (c ₁ > 0), а c ₂ всегда меньше нуля (c ₂ < 0). Поэтому колебания на частоте w ₁ всегда происходят в фазе (синфазны), а колебания на частоте w ₂ всегда противофазны.

В общем случае величину физической связи (обмен энергией) между парциальными системами характеризуют связностью

,

(7.13)

которая определяется не только коэффициентами связи, но и близостью значений парциальных частот. Если связность мала (s < < 1), когда обмен энергией между парциальными системами мал, собственные частоты близки к соответствующим парциальным частотам (w _{1, 2}» n _{1, 2}). Также, при малой связности обмен энергией между парциальными системами незначителен.