Уравнения линейных дискретных колебательных систем Вопрос 1

Общим подходом к моделированию колебательных систем, в котором определены кинетическая и потенциальная энергии является формализм Лагранжа. В радиотехнических системах, которые можно представить соединением конечного числа элементов (активных и пассивных), оказывается полезным метод уравнений Кирхгофа (основан на том, что токам и напряжениям ставится в соответствие их изображения по Лапласу):

(1.1)

Свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность: .	(1.2)
2. Правило сдвига: .	(1.3)
3. Дифференцирование: .	(1.4)
4. Интегрирование: .	(1.5)

Для линейных двухполюсников, общий вид которых представлен на рис.1, вводят понятия операторного сопротивления и операторной проводимости:

и ,

где I (p) и U (p) - изображения по Лапласу тока и напряжения соответственно, т.е.

,   .

Определим теперь операторные сопротивления Z и проводимости Y для типовых идеальных двухполюсников, пользуясь свойствами (1.2), (1.4) и (1.5).

Рис. 1. Двухполюсник.

Для резистора: Ri (t) = u (t) Û U (p) = RI (p), тогда Z = R, Y = 1/ R. Для конденсатора: Û I (p) = CpU (p), , Y = Cp. Для индуктивности: Û U (p) = LpI (p), Z = Lp, .

Запишем также законы Кирхгофа в операторной форме:

1. Сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.	Рис. 2. Иллюстрация к первому правилу Кирхгофа: узел.
	(1.6)
2. Сумма напряжений на всех элементах произвольного замкнутого контура равна нулю (в операторной форме):
	(1.7)

Рассмотрим последовательный и параллельный колебательные контура (см. рис. 3, рис. 4). Можно записать следующие уравнения (для последовательного колебательного контура), которые следуют из закона Ома:

или (если избавиться от p в знаменателе)

.

Теперь, применяя свойства преобразования Лапласа, запишем последнее уравнение в виде

.

Рис. 3. Последовательный колебательный контур.

Рис. 4. Параллельный колебательный контур.

Для параллельного колебательного контура проделаем аналогичные процедуры: из закона Ома, а также правила сложения сопротивлений при параллельном соединении следует, что

.

Приведя к общему знаменателю, получим: . Перейдём теперь от уравнения в операторном виде к дифференциальному уравнению:

Таким образом, можно получить некоторые операторы:

.

(1.8)

Эти операторы, в общем случае, интегрально-дифференциальные, но это не очень удобно, поэтому мы и приводили уравнения к общему знаменателю и получали при этом уравнения вида

,

(1.9)

где и - линейные дифференциальные операторы, т. е.

и .

Применим преобразование Лапласа к (1.9) с учётом свойств (1.2) и (1.4):

.

Формально можно найти операторное сопротивление системы:

,

(1.10)

т. е. операторное сопротивление есть дробно-рациональная функция.

Пусть теперь на линейную систему производится гармоническое воздействие u (t) = U cos(wt + j). Будем считать, что параметры системы (a_n и b_m) постоянны, т. е. у нас есть система с постоянными параметрами. Из свойств линейных систем с постоянными параметрами вида (1.9) следует, что в установившемся режиме реакция системы на гармонический сигнал будет гармоническим сигналом той же частоты, т. е. i (t) = I cos(wt + y). Воспользуемся методом комплексных амплитуд: поставим во взаимооднозначное соответствие сигналам их комплексные амплитуды, тогда

, где ;

, где .

Для линейных операторов выполняется соотношение:

,

с помощью которого можно записать (1.9) в виде:

,

и тогда найдём комплексное сопротивление как отношение комплексных амплитуд:

.

(1.11)

Таким образом, мы нашли сопротивление операторным методом и методом комплексных амплитуд. Операторный метод предполагает, что сигнал начался в момент времени t = 0. Он справедлив как в установившемся, так и в переходном режиме. В методе комплексных амплитуд предполагается, что сигнал начался давно (установившийся режим).

Рассмотрим для примера составление уравнения для резонансного усилителя (см. рис. 5). Полевой транзистор представляет собой источник тока, и приложенное напряжение заставляет его генерировать ток. Таким образом, часть резонансного усилителя, которая на рис. 5 обведена штриховой линией, можно принять за источник тока и перерисовать усилитель в эквивалентном виде, который представлен на рис. 6. Резисторы R ₁ и R ₂ описывают потери в резонансных контурах L ₁ C ₁ и L ₂ C ₂. Второй каскад на транзисторе T₂ усиливает напряжение в k раз, т. е. u ₃ = ku₂.

Выберем в качестве обобщённых координат токи i ₁ и i ₂. Запишем второе правило Кирхгофа для первого и второго контуров на рис. 6.

Умножим второе уравнение на pC ₁, а третье на pC ₂:

Рис. 5. Резонансный усилитель.

Рис. 6. Эквивалентная схема резонансного усилителя.

Из этой системы по правилу Крамера найдём I ₂, а затем по закону Ома для участка цепи найдём напряжение на конденсаторе С ₂:

,

или

.

Введём проходное сопротивление:

.

(1.12)

Высший порядок уравнения равен удвоенному числу обобщённых переменных, т. е. удвоенному числу степеней свободы. Этот пример мы рассматривали операторным методом, который применим только к линейным системам.