Закони збереження

імпульсу = const

моменту імпульсу = const

Робота і потужність

Кінетична енергія

Ек =

Ек =

Хід роботи

Приклад. Платформа у вигляді суцільного диска радіусом R = 1, 5 м і масою m₁ = 180 кг обертається за інерцією навколо вертикальної осі з частотою n = 10хв¹. У центрі платформи стоїть людина масою m₂ = 60 кг. Яку лінійну швидкість відносно підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи?

Розв’язок. Платформа обертається за інерцією. Отже, момент зовнішніх сил відносно осі обертання Z, яка співпадає з геометричною віссю платформи, дорівнює нуля. При цій умові момент імпульсу L_Z системи платформа – людина залишається постійною:

L_Z = J_Zw = const, (1)

де J_Z – момент інерції платформи з людиною відносно осі Z; w – кутова швидкість платформи.

Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, які входять до складу системи, тому J_Z = J₁ + J₂, де J₁ – момент інерції платформи; J₂ – момент інерції людини.

З урахуванням цього рівняння (1)

(J₁ + J₂) w = const,

або

(2)

де значення моментів інерції J₁ і J₂ відносяться до початкового стану системи; і - до кінцевого.

Момент інерції платформи відносно осі Z при переході людини не зміниться: Момент інерції людини відносно тієї самої осі буде змінюватись. Якщо розглядати людину як матеріальну точку, то її момент інерції J₂ в початковому положенні (в центрі платформи) можна прирівняти до нуля. В кінцевому положенні (на краю платформи) момент інерції людини Підставимо у формулу (2) знайдені вирази моментів інерції, а також виразимо початкову кутову швидкість w обертання платформи з людиною через частоту обертання n (w = 2pn), кінцеву кутову швидкість w^/ – через лінійну швидкість v людини відносно підлоги (w^/ = u/R):

Після скорочення на R² та простих перетворень знаходимо швидкість:

Враховуючи, що n = 10 хв^-1 = 1/6 с^-1, підставимо числові значення фізичних величин в СІ та проведемо обчислення:

Задачі

Обчислення моменту інерції

1. Визначити момент інерції матеріальної точки масою 0, 3 кг відносно осі, розташованої на відстані 20 см від даної точки.

2. Три кульки масою по 10 г кожна розташовані у вершинах рівностороннього трикутника і з’єднані між собою. Сторона трикутника дорівнює 20 см. Визначити момент інерції системи відносно осі: а) яка проходить перпендикулярно до площини трикутника через центр описаного кола; б) яка лежить у площині трикутника та проходить через центр описаного кола і одну із вершин трикутника. Масою стержнів, які з’єднують кулі, можна знехтувати.

3. Визначити момент інерції тонкого стержня довжиною 30 см та масою 100 г відносно осі, яка перпендикулярна до стержня та проходить через: а) його край; б) його середину; в) точку, віддалену від одного краю стержня на 1/3 його довжини.

4. Довжина тонкого прямого стержня становить 60 см, маса ⎯ 100 гр. Визначити момент інерції стержня відносно осі, яка перпендикулярна до довжини стержня та проходить через віддалену на 20 см від одного з країв стержня точку.

5. Визначити момент інерції тонкого однорідного кільця відносно осі, що лежить у площині кільця та проходить через його центр. Радіус кільця дорівнює 20 см, маса ⎯ 100 г.

6. Діаметр диску дорівнює 20 см, маса ⎯ 800 г. Визначити момент інерції відносно осі, яка проходить через середину одного із радіусів перпендикулярно до площини диску.

7. Довжина однієї сторони плоскої однорідної прямокутної пластини дорівнює 40 см, маса ⎯ 800 г. Визначити момент інерції пластини відносно осі, яка співпадає з іншою стороною пластини.

8. Визначити момент інерції тонкої пластини, що має сторони довжиною 10 см та 20 см відносно осі, що проходить через центр маси пластини паралельно більшій стороні. Маса пластини рівномірно розподілена по її поверхні з густиною 1, 2 кг/м².

Основне рівняння динаміки обертального руху

9. Тонкий стержень довжиною 50 см та масою 400 г обертається з кутовою швидкістю 3 рад/с² навколо осі, що проходить через середину стержня перпендикулярно до його довжини. Визначити обертальний момент.

10. Циліндр масою 100 кг і радіусом 5 см обертається з частотою 8 об/хв. До даної циліндричної поверхні прикладають силу 40 Н, під дією якої обертання припинилося через 10 с. Визначити коефіцієнт тертя.

11. На циліндр намотана тонка нерозтяжна нитка, масою якої можна знехтувати. Вільний кінець нитки закріплений до кронштейна. Циліндр вільно рухається під дією сили тяжіння. Визначити лінійне прискорення осі циліндра, якщо циліндр: а) суцільний; б) порожнинний, тонкостінний.

12. Диску, що має масу 50 кг та радіус 20 см, надали частоту обертання, яка дорівнює 480 об/хв. Через певний час під дією сили тертя диск зупинився. Визначити момент тертя, вважаючи його сталим при умові, що: а) рух припинився через 50 с; б) диск здійснив до повної зупинки 200 обертів.

13. Платформа, що має форму диску з радіусом 1, 5 м та масою 180 кг обертається по інерції навколо вертикальної осі, здійснюючи 10 об/хв. В центрі платформи знаходиться людина масою 60 кг. Визначити, яку лінійну швидкість відносно нерухомої основи буде мати людина, якщо вона переміститься на край платформи.

14. Через блок, що має форму диску, перекинута тонка невагома нерозтяжна нитка. До обох країв нитки прив'язали вантажі масою 100 гр та 110гр. Визначити прискорення вантажів, якщо маса блока дорівнює 400 гр.

Питання для самоконтролю знань

1. Динаміка обертального руху.

2. Основне рівняння динаміки обертального руху.

3. Момент імпульсу матеріальної точки.

4. Момент сили відносно осі обертання.

5. Момент інерції матеріальної точки.

6. Момент інерції твердого тіла.

7. Теорема Штейнера.

8. Характеристики обертального та поступального рухів.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Богацька І.Г., Головко Д.Б., Маляренко Д.А., Ментковський Ю.Л.
Загальні основи фізики. – К.: Либідь, 1995. – Т. 1-2.

2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.: Наука, 1980.

3. Гельфгат І.М., Генденштейн Л.Е., Кирик Л.А. 1001 задача з фізики. – Харків: Гімназія, 2004.

4. Дмитрієва В.Ф. Фізика. – К.: Вища школа, 1992.

5. Дущенко В.П., Кучерук І.М. Загальна фізика. Фізичні основи механіки,
молекулярної фізики і термодинаміки. – К.: Вища школа, 1993.

6. Загальний курс фізики. Зб. Задач./І.Н.Гаркуша, І.Т. Горбачук та ін. – К.: Техніка. 2003.

7. Зильберман Г.Е. Электричество и магнетизм. – М.: Наука, 1970.

8. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. – М.: Наука, 1994. – Т.1- 3.

9. Кучерук І.М., Горбачук І.Т. Загальна фізика. Електрика і магнетизм. – К.: Вища школа, 1995.

10. Кучерук І.М., Дущенко В.П. Загальна фізика. Оптика. Квантова фізика. – К.: Вища школа, 1991.

11. Петченко О.М., Сисоєв А.С., Назаренко Є.І., Безуглий А.В. Навчальний посібник з фізики – Харків: ХНАМГ, 2007.

12. Петченко О.Я., Сисоєв Л.С., Назаренко С.І., Безуглий А.В. Загальні основи фізики. – Харків: ХНАМГ, 2007.

13. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1989. ― Т. 1-3.

14. Сивухин Д.В. Общий курс физики. – М.: Наука, 1985.- Т.1, 2, 3.

15. Стоцкий Л.Р. Физические величины и их единицы. – М.: Просвещение, 1989.

16. Чертов А.Г., Воробьев А.А., Федоров М.Ф. Задачник по физике. – М.: Высшая школа, 1973.

17. Яворский Б.П., Детлаф А.А. Лебедєв А.К. Довідник з фізики для інженерів. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан. 2007.

18. Яворский Б.П., Пинский А.А. Основы физики. ― М.: Наука, 1972. – Т.2.