Практична робота № 3

Застосування законів збереження

Мета: розглянути фундаментальні закони збереження механіки; з’ясувати межі їх застосування; ознайомитися з основними типами задач, що розв’язуються за допомогою законів збереження.

Основні теоретичні відомості

Сукупність тіл, яку виділили для розв'язання певної задачі, називають механічною системою. Тіла системи можуть взаємодіяти як між собою, так із тілами, що не входять у дану систему. Згідно з цим, сили, що діють на тіла системи, поділяються на зовнішні та внутрішн і. Внутрішніми називаються сили, з якими тіла системи взаємодіють один з одним, зовнішніми ⎯ сили, обумовлені взаємодією з тілами, що не належать даній системі. Система, в якій зовнішні сили відсутні, називається замкненою (ізольованою).

Для замкнених систем залишаються сталими три фізичні величини: імпульс, момент імпульсу, енергія. Відповідно існує три закони збереження: закон збереження імпульсу, закон збереження моменту імпульсу, закон збереження енергії. Ці закони тісно пов'язані із властивостями часу і простору. Закони збереження є фундаментальними законами природи.

Закони збереження не залежать від природи і характеру діючих сил. Тому за допомогою даних законів можна робити висновки про механічну систему навіть у тих випадках, коли природа діючих сил залишається невідомою.

Похідна по часу від загального імпульсу системи дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на тіла системи:

p = ,

p = ,

де F ⎯ зовнішні сили, p ⎯ імпульс системи, ⎯ імпульс і- частинки, і ⎯ кількість матеріальних точок, що входять в дану замкнену систему.

Якщо система замкнена:

=0.

Висновок: векторна сума імпульсу замкненої системи матеріальних точок залишається сталою. Дане твердження виражає зміст закону збереження імпульсу. Аналітичний запис закону збереження імпульсу:

p = 0,

= const,

= const.

Для двох взаємодіючих матеріальних точок, що рухаються по одній прямій, даний закон має вигляд:

m₁ 𝜗 ₁ + m₂ 𝜗 ₂ = m₁ u₁ +m₂ u₂,

де 𝜗 ₁, 𝜗 ₂ ⎯ швидкості точок до взаємодії, u₁, u₂ ⎯ швидкості точок після їх взаємодії.

Поняття енергії та роботи тісно пов'язані одне з одним. Енергія є загальною кількісною мірою руху і взаємодії всіх видів матерії. Енергія не виникає і не зникає; вона лише переходить із однієї форми в іншу. Поняття енергії пов'язує в єдине ціле всі явища природи. В залежності від форми руху матерії виділяють різні види енергії: механічну, внутрішню, електромагнітну, ядерну тощо.

Механічна енергія може бути двох видів: кінетична та потенціальна.

Кінетична енергія ⎯ це енергія рухомого тіла.

Кінетична енергія в класичній механіці:

Е_к = .

Кінетична енергія в релятивістській механіці:

Е_к = (m ⎯ m₀) с².

Потенціальна енергія ⎯ це енергія, обумовлена взаємодією тіл або частинок тіл.

У механіці розрізняються:

а) потенціальна енергія піднятого над Землею тіла, де h ⎯ висота над рівнем, на якому потенціальна енергія системи «Земля - тіло» приймається за нуль (нульовий рівень потенціальної енергії):

Е_п = mgh;

б) потенціальна енергія пружнодеформованого тіла:

Е_п = ;

в) потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок з масами m₁ і m₂, що перебувають на відстані r одна від одної:

Е_п = ⎯ .

Потенціальна енергія є позитивною, якщо вона обумовлена силами відштовхування, і негативною, якщо обумовлена силами протягування.

Робота – це міра зміни і перетворення енергії:

А = 𝛥 Е

Робота постійної сили:

А = FScos𝛼,

де 𝛼 ⎯ кут між напрямком сили і переміщення.

Робота змінної сили:

А = ,

де а і b ⎯ координати початкової та кінцевої точок шляху.

Потужність ⎯ фізична величина, що характеризує швидкість виконання роботи. Середня потужність за час 𝛥 t визначається за формулою:

N= ,

де 𝛥 А ⎯ робота, що здійснюється за час 𝛥 t.

Миттєва потужність:

N= або N = F𝜗 cos𝛼.

Робота, що здійснюється зовнішніми силами, які діють на тіло і змінюють кінетичну енергію тіла:

А = 𝛥 Е_к = Е_К2 ⎯ Е_К1 = ⎯ .

Сили, робота яких не залежить від шляху, по якому рухалося тіло, а залежить лише від початкової та кінцевої координати, називаються консервативними.

Поле, в якому сили, що діють на тіло в усіх точках однакові за модулем та напрямком, називається однорідним.

Однорідне поле, яке не змінюється з часом, називається стаціонарним.

Поле, в кожній точці якого напрямок сил, що діють на тіло, проходить через нерухомий центр, а модуль залежить тільки від відстані до цього центра, називається центральним.

Закон збереження повної механічної енергії

Повна механічна енергія тіла, що рухається в полі консервативних сил, залишається сталою.

Е_к +Е_п = const.

Е_п (x, y, z) ⎯ вираз потенціальної енергії.

Вектор з компонентами ∂ 𝜑 /∂ x, ∂ 𝜑 /∂ y, ∂ 𝜑 /∂ z, де 𝜑 ⎯ скалярна функція координат x, y, z, називається градієнтом функції 𝜑 і позначається grad 𝜑:

grad 𝜑 = е + е + е .

Консервативні сили дорівнюють градієнту потенціальної енергії тіла, взятому з протилежним знаком:

F = ⎯ grad 𝜑.

При наявності неконсервативних сил повна механічна енергія системи не зберігається. Неконсервативними силами є сили тертя та сили опору середовища. Робота цих сил є від'ємною. Тому при наявності сил тертя та опору середовища повна механічна енергія системи зменшується, переходячи у внутрішню, що призводить до нагрівання тіл. Такий процес називається дисипацією енергії.

Закони збереження використовуються при дослідженні різних ударів.

Удар ⎯ зіткнення двох або більше тіл, при якому взаємодія триває дуже короткий час.

Центральний удар ⎯ це удар, при якому тіла до удару рухалися вздовж прямої, що проходить через їхні центри мас.

Абсолютно непружний удар ⎯ зіткнення двох тіл, у результаті якого тіла об'єднуються, рухаючись далі як єдине ціле у напрямку руху тіла, що мало більший імпульс.

Абсолютно пружний удар ⎯ це удар, при якому зберігається повна механічна енергія тіл, що беруть участь у взаємодії.

Швидкість абсолютно непружних куль після центрального удару:

u = ,

де 𝜗 ₁, 𝜗 ₂ ⎯ швидкості куль до взаємодії, m₁, m₂ ⎯ маси куль.

Робота деформації при ударі абсолютно непружних куль:

А = ⎯ 𝛥 Е_к = (Е_к1 + Е_к2) ⎯ Е_к ,

де Е_к1, Е_к2 ⎯ кінетична енергія взаємодіючих куль, Е_к ⎯ загальна кінетична енергія куль після взаємодії, 𝛥 Е_к ⎯ зміна кінетичної енергії куль у результаті удару.

Швидкість абсолютно пружних куль після удару:

u₁ = ; u₂ = .

Закон збереження моменту імпульсу в загальному вигляді:

= const,

де L _і ⎯ момент імпульсу тіла з номером і, яке входить у склад системи.

Закон збереження моменту імпульсу для системи, що складається з двох тіл:

J₁ 𝜔 ₁ + J₂ 𝜔 ₂ = J₁' 𝜔 ₁' + J₂' 𝜔 ₂',

де J₁, J₂, 𝜔 ₁, 𝜔 ₂ ⎯ моменти інерції та кутові швидкості тіл до взаємодії, J₁', J₂', 𝜔 ₁', 𝜔 ₂' ⎯ моменти інерції та кутові швидкості тіл після взаємодії.

Закон збереження моменту імпульсу для одного тіла, момент інерції якого може змінюватися:

J₁ 𝜔 ₁ = J₂ 𝜔 ₂,

де J₁, J₂ ⎯ початкове та кінцеве значення моменту імпульсу, 𝜔 ₁, 𝜔 ₂ ⎯ початкове та кінцеве значення кутової швидкості тіла.

Робота постійного моменту сили, яка діє на тіло, що здійснює обертання:

А = М 𝜑,

де 𝜑 ⎯ кут повороту тіла.

Миттєва потужність тіла, яку розвиває тіло, що здійснює обертання:

N = М 𝜔.

Кінетична енергія тіла, що здійснює обертання:

Е_к = .

Кінетична енергія тіла, що котиться по площині без проковзування:

Е_к = + ,

де ⎯ кінетична енергія поступального руху тіла, 𝜗 ⎯ швидкість центру інерції тіла, ⎯ кінетична енергія обертального руху тіла навколо осі, що проходить через центр інерції.

Робота, яку здійснює тіло при обертанні та зміна кінетичної енергії пов'язані співвідношенням:

А = ⎯ .

Хід роботи

Приклад. Ящик масою m₁ = 20 кг зісковзується по ідеально гладкому лотку довжиною l = 2 м на нерухомий візок з піском і застряє в ньому. Візок з піском масою m₂ = 80 кг може вільно (без тертя) переміщуватись по рейках в горизонтальному напрямку. Визначити швидкість и візка з ящиком, якщо лоток нахилений під кутом a = 30⁰ до рейок.

Розв’язок. Візок і ящик можна розглядати як систему двох тіл, які непружньо взаємодіють. Але ця система не замкнена, так як сума зовнішніх сил, яка діє на систему: двох сил тяжіння і та сили реакції (див.рис.) не дорівнює нулю. Тому застосувати закон збереження імпульсу до системи ящик-візок не можна. Але так як проекція суми вказаних сил на напрямок осі х, яка співпадає з напрямком рейок, дорівнює нулю, складову імпульсу системи в цьому напрямку можна вважати постійною, тобто

р_1х + р_2х = р^/_1х + р^/_2х,

де р_1х і р_2х – проекції імпульсу ящика і візка з піском в момент падіння ящика на візок; р^/_1х і р^/_2х – ті самі величини після падіння ящика.

Виразимо в рівнянні імпульси тіл через їх маси і швидкості, враховуючи, що р_2х = 0 (візок до взаємодії з ящиком покоївся), а також той факт, що після взаємодії обидва тіла системи рухаються з однією швидкістю и:

m₁υ _ix = (m₁ + m₂) и, або m₁υ _i cos a = (m₁ + m₂) и,

де υ _i – швидкість ящика перед падінням на візок; υ _ix = υ _i cos a – проекція цієї швидкості на вісь х.

Звідси виразимо шукану швидкість:

Швидкість υ ₁ визначимо за законом збереження енергії: ,

де h = l sin a.

Після скорочення на m₁ знайдемо:

Підставивши визначений вираз υ ₁ в формулу, одержимо:

Підставимо сюди числові значення величин і проведемо розрахунки:

Задачі

1. М'яч масою 300г упав з висоти 1, 23 м на асфальт і підскочив на таку саму висоту. Тривалість удару об асфальт становить 0, 1 с. Знайдіть середню силу удару F _с. Як зміниться ця сила, якщо м'яч удариться об тверду поверхню, нахилену під кутом 30° до горизонту? Якою буде F _с, якщо в обох випадках м'яч замінити пластиліновою кулею такої самої маси? Тривалість удару вважайте такою самою.

2. На скільки зміститься нерухомий човен масою 280 кг, якщо людина масою 70 кг перейде з його носа на корму? Відстань від носа до корми дорівнює 5м. Опором води мож­на нехтувати.

3. Гармата масою 800 кг вистрілює ядро масою 10 кг з початковою швидкістю 200 м/с відносно Землі під кутом 60° до горизонту. Яка швидкість відкочування гармати? Тертям можна знехтувати.

4. Якої швидкості набуває візок, якщо в нього зісков­зне з пагорба камінь (див. рису­нок)? Тертям можна знехтувати.

5. Куля масою 10 кг завдала непружного прямого удару кулі масою 4 кг. Швидкість першої кулі становить 4 м/с, другої ⎯ 12 м/с. Визначити спільну швидкість куль після удару у двох випадках: 1) менша куля наздоганяє більшу кулю, рухаючись у тому ж напрямку, що і перша; 2) кулі рухаються назустріч одна одній.

6. Автомобіль масою 2 т розганяється з місця на гору з ухилом 0, 02. Коефіцієнт опору 𝜇 = 0, 05. Автомобіль на­буває швидкості 97, 2 км/год на ділянці завдовжки 100 м. Яку середню потужність розвиває двигун?

7. Камінь масою 10 кг піднімають на висоту 10 м, прикладаючи сталу силу 200 Н. Яку роботу при цьому виконує дана сила? Чому дорівнює зміна потенціальної енергії? Як узгоджуються одержані відповіді із законом збереження енергії?

8. Автомобіль може втриматись за допомогою гальм на ділянці гірської дороги з ухилом, що не більший за 𝛼 = 30°. Який гальмівний шлях цього автомобіля на горизонтальній ділянці такої ж дороги, якщо швидкість становить 72 км/год?

9. Визначити роботу, яка здійснюється при піднятті вантажу по похилій площині, якщо маса вантажу 100 кг, довжина похилої площини 2 м, кут нахилу 30°, коефіцієнт тертя 0, 1, а вантаж рухається з прискоренням 1 м/с².

10. Визначити роботу, яка здійснюється на шляху 12 м, силою, що рівномірно зростає. На початку шляху дана сила дорівнювали 10 Н, в кінці ⎯ 46 Н.

11. Матеріальна точка масою 2 кг під дією деякої сили рухається за законом:

= 10 ⎯ 2t + .

Визначити потужність, що затрачається на рух точки в момент часу:

t₁ = 2 с, t₂ = 5 с.

12. Диск обертається за законом, що визначається рівнянням:

𝜑 = 2 + 32t ⎯ 4 .

Визначити середню потужність, яку розвивають сили для повної зупинки диску. Момент інерції диску становить 100 кг·м².

13. Диск обертається за законом, що визначається рівнянням:

𝜑 = 2 + 16t ⎯ 2 .

Момент інерції диску становить 50 кг·м². Записати закони зміни обертального моменту та потужності. Визначити потужність у момент часу t = 3 с.

14. Ядро атома розпадається на два уламки масами 1, 6·10^-25кг та 2, 4·10^-25 кг. Визначити кінетичну енергію другого уламку, якщо енергія першого становить 18 нДж.

15. Ядро атома розпадається на два уламки масами 10^-25 кг та 3·10^-25 кг. Визначити кінетичну енергію кожного з уламків, якщо їх загальна кінетична енергія становить 32 пДж. Кінетичною енергією і імпульсом атома до розпаду можна знехтувати.

16. У балістичний маятник масою 5 кг потрапила куля масою 10 г і застрягла. Визначити швидкість кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту 10 см.

17. Куля, що рухалася зі швидкістю 5 м/с, налітає на нерухому кулю. Удар непружній. Визначити швидкість куль після удару та роботу деформації. Розглянути два випадки: 1) маса рухомої кулі 2 кг, маса нерухомої 8 кг; 2) маса рухомої кулі 8 кг, маса нерухомої 2 кг.

18. На краю горизонтальної платформи, яка має форму диску радіусом 2 м, знаходиться людина. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі, яка проходить через її центр. Визначити кутову швидкість обертання платформи, якщо людина буде рухатися вздовж її краю із швидкістю 2 м/с відносно платформи. Маса платформи М = 200 кг, маса людини m = 80 кг. Тертям можна знехтувати.

19. На краю горизонтальної платформи, яка має форму диску радіусом 2 м, знаходиться людина. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі. Визначити кут повороту платформи, при умові, що людина, пройшовши по краю платформи, повернеться у вихідне положення. Маса платформи 240 кг, маса людини 60 кг. Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

20. Платформа, яка має форму диску радіусом 2 м, обертається за інерцією з частотою 6 об/хв. На краю платформи знаходиться людина, маса якої 80 кг. Визначити частоту обертання платформи, якщо людина переміститься в центр платформи. Момент інерції платформи становить 120 кг·м². Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

Питання для самоконтролю знань

1. Імпульс тіла. Імпульс сили.

2. Закон збереження імпульсу. Межі застосування.

3. Механічна енергія.

4. Кінетична та потенціальна енергія тіла.

5. Закон збереження повної механічної енергії. Межі застосування.

6. Консервативні сили.

7. Момент імпульсу.

8. Закон збереження моменту імпульсу.

9. Робота та потужність.