Корреляционные и дисперсионные характеристики демонстрационных задач

№ 8.1 (линейная 0, 90

регрессия)

! 8.2 (гипербо- 0, 79 ппмеская рег­рессия)

№ 8.3 (линейная 0, 80 регрессия)

№ 8.4 (функция 0, 79 Кобба—Дугласа) № 8.5 (логариф- 0, 45 мическая квад­ратичная рег­рессия)

Задача 9.1. Значение коэффициента корреляции свидетель­ствует о высокой степени линейной корреляции величин у и х. Достоверность расчета коэффициента корреляции высока. В силу линейности регрессии корреляционное отношение не дает дополнительной информации. Коэффициент детерминации по­казывает, что примерно 80 % изменений величины у вызвано со­ответствующими изменениями величины х. Остальные измене­ния, отражаемые выборкой, обусловлены действием неучтенных факторов. Несмещенная выборочная оценка з_у стандартного от­клонения величины у от линии регрессии составляет 1, 88, то есть находится в пределах 5—10% от значений величины у, получае­мых из уравнения регрессии (сравните указанное значение з_у со сглаженными значениями у, приведенными в последнем столбце гибл. 14).

Задача 9.2. Здесь наглядно иллюстрируется ситуация, когда «большое» (по введенной выше градации) значение коэффициен­та корреляции не означает, что класс линейных функций адеква­тен сущности явления, рассматриваемого в задаче (см. рис. 6). Очень большое значение выборочного корреляционного отношения и малая погрешность его определения говорят о соответствии принятого класса уравнений регрессии (гиперболическая зависи­мость) выборочной информации. Это, однако, не должно созда­вать иллюзию, что возможно однозначное решение проблемы подбора сглаживающей зависимости только на основе корреляци­онного анализа. Суть остающейся неопределенности можно выра­зить, например, следующим образом: если потребителя результа­тов устраивает степень корреляции у и х порядка 0, 8 («в сред­нем» — в рассматриваемых диапазонах их значений), то он «имеет право» воспользоваться не гиперболической, а более простой с вычислительной точки зрения линейной регрессией, пренебрегая тем, что она неадекватна сущности анализируемого явления.

Задача 9.3. Выборочная оценка коэффициента корреляции свидетельствует о приемлемости линейной регрессии. Оценка коэффициента детерминации В показывает, что изменения рас­сматриваемых производственных факторов — площадей кормо­вых угодий, стоимости животноводческих построек, площади смытых земель — определяют 63 % изменений плотности поголо­вья коров на 100 га сельскохозяйственных угодий. Остальные 37 % вариации у обусловлены действием неучтенных факторов.

Задача 9.4. Значение коэффициента множественной корреля­ции велико. Поэтому в принципе можно было бы воспользовать­ся линейной регрессией. Кроме того, тот факт, что значение кор­реляционного отношения (Л = 0, 77) меньше значения коэффи­циента множественной корреляции (0, 79), а также невысокая до­стоверность расчета корреляционного отношения свидетель­ствуют о том, что в данной задаче функция Кобба—Дугласа ме­нее приемлема, чем линейная зависимость.

Задача 9.5. Невысокое выборочное значение коэффициента корреляции и слабая достоверность его расчета говорят о том, что линейная регрессия в данной задаче была бы неприемлема. Исходная гипотеза о приемлемости логарифмической квадратич­ной регрессии подтверждается оценкой корреляционного отно­шения и погрешности его определения. Большое значение коэф­фициента детерминации свидетельствует о превалирующей роли изменения расстояния х от лесополосы в изменении прибавки урожая у (в рассматриваемых границах значений х). В то же вре­мя следует учесть, что на границах рассматриваемого диапазона

значений стандартное отклонение у от линии регрессии у(х) может достигать почти 20 % (ср. последний столбец табл. 24 со значением з_у для задачи 8.5 в табл. 25).

Контрольные вопросы и задания

1. Что характеризует коэффициент корреляции?

2. Запишите выражение для расчета выборочного значения коэффициента пар­ной корреляции.

3. Каков диапазон возможных значений коэффициента парной корреляции? Что характеризуют различные уровни значений модуля коэффициента парной кор­реляции? Чему соответствуют положительные и отрицательные значения коэффи­циента парной корреляции?

4. Что такое коэффициент множественной корреляции? Приведите общее вы­ражение для расчета этого коэффициента. Каков диапазон его возможных значе­ний?

5. К чему сводится выражение для расчета коэффициента множественной кор­реляции, если число производственных факторов равно одному? двум?

6. Дайте определение корреляционного отношения. Что оно характеризует? В чем заключается его отличие от коэффициента корреляции?

7. Приведите формулу связи между корреляционным соотношением и коэффи­циентами корреляции для случая линейной регрессии.

8. Как вы объясните утверждение: «Выборочные значения коэффициентов кор­реляции имеют статистический характер»?

9. Приведите формулы для расчета среднеквадратической ошибки определения выборочного значения парной и множественной корреляций при различных объе­мах выборки.

10. Что такое «правило трех сигм»?

11. Приведите формулу расчета параметров доверительного интервала для ко­эффициента корреляции /о из генеральной совокупности при больших объемах нмборки. Какое допущение лежит в основе этой формулы?

12. Приведите формулу расчета параметров доверительного интервала для коэф­фициента корреляции г₀ из генеральной совокупности при больших объемах выбор­ки. Какую роль играет при получении этой формулы статистика 2 Р. Фишера?

13. Как можно проверить достоверность гипотезы: «Коэффициент корреляции 1п генеральной совокупности с доверительной вероятностью р не отличается зна­чимо от нуля»?

14. В чем состоит смысл задачи оценки значимости представления производ­ственной функции, полученной по результатам выборочных наблюдений?

15. Опишите качественно процедуру совместного анализа корреляционного от­ношения и коэффициента множественной корреляции при оценке допустимости использования линейной регрессии или регрессии другого вида.

16. Какими показателями характеризуется степень влияния производственных факторов на результативный показатель?

17. Как определяются дисперсии:

отклонений сглаженных значений результативного показателя от среднего на­блюдаемого значения;

отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от линии рег­рессии?

18. Дайте определение коэффициента детерминации. Что он характеризует?

19. Как коэффициент детерминации связан с корреляционным отношением и коэффициентом множественной корреляции в случае линейной регрессии?

20. Приведите формулу для расчета доверительных границ зависимости у(х) для случая однофакторной линейной регрессии.

21. Как вы понимаете задачу оценки достаточности числа наблюдений?

22. Каким должен быть минимальный объем выборки Ж в зависимости от коли­чества производственных факторов А/? Можно ли определить достаточный объем выборки независимо от оцениваемой характеристики случайной величины?

23. Приведите формулы для расчета необходимого объема выборки, если оце­нивается среднее значение наблюдаемой случайной величины.

24. Проведите качественный анализ результатов из таблицы 25. Попытайтесь на основании представленных в этой таблице данных применительно к задачам 8.1, К.2, 8.4, 8.5 ответить на следующие вопросы:

допустимо ли использование линейной регрессии для описания статистичес­кой информации, приведенной в задаче в качестве исходных данных?

Является ли правильным выбор класса функций при построении регрессии для данной задачи?

Насколько (количественно!) существенно влияние неучтенных факторов на ре­зультативный показатель в данной задаче?

Какова (в %) несмещенная оценка стандартного отклонения результативного показателя от линии регрессии (при ответе на этот вопрос следует воспользоваться помимо таблицы 25 данными, представленными в последних столбцах табл. 14, 17, 23, 24)?