Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
N . IV 1 .\1 IV I .
|
|
Х*у ХМ ХУх
7 = 1 7=' ■ •-'
| /у |
| ЛГ |
/V
(8.4а)
2. Пусть Су— класс полиномов второй степени (парабол), то есть ищется параболическая регрессия у на х:
у —.Доь а2, а3; х) — а\ + а2х + а$к2.
(8.5)
В этом случае система нормальных уравнений для определения параметров щ, а2, а^ будет иметь вид
N. N, л2 N.
а^+а21х-> +а321[х^ = ХУ;
| 7 = 1 |
| 7 = 1 \2 |
7 = 1
Лз
«1 X ^+«2 X И +«3 X К = X (у'хЛ
7 = 1 7 = 1У ' 7 = Г ' 7 = 1У У
N, л2 N I лз N,.и N,. л2
«1 X (*У) +«2 X (*') +«3 X (*У) = X (> ^)
7 = 1
(8.6)
3. Если С/— класс гипербол, ищется гиперболическая регрессия у на х.
у=/(а1, а2; х)=а1 +
а2
(8.7)
Тогда система нормальных уравнений имеет вид
| 7 = 1 |
N \ N.
я1^+я2хЛ=5> у;
7 =
| /V! |
* 1 «1 Х-7+Я2 X
| у = 1* |
Quot; И
Л
^Л;
(8.8)
Аналогично составляются системы нормальных уравнений в случае большего числа производственных факторов. Например, для случая трех факторов при необходимости построения линейных регрессий вида
После решения системы нормальных уравнений и подстановки полученных значений параметров в общее выражение, связывающее результативный показатель с факторами, получают конкретное уравнение, которое и принимается в качестве искомого представления производственной функции.
Для иллюстрации определим в соответствии с рассмотренным методом линейное представление зависимости урожайности озимой пшеницы от балльной оценки качества земли по данным таблицы 13. Расчет сумм, входящих в систему нормальных уравнений (8.4), показан в таблице! 4.
14. Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений (линейная регрессия,
задача 8.1)
| Номера участков ] | X | У х2 | ху | У = /(х) |
1 30 23, 5 900 705, 0 23, 01
2 35 23, 7 1225 829, 5 25, 55
3 35 24, 0 1225 840, 0 25, 55
4 38 26, 7 1444 1014, 6 27, 08
5 29 24, 3 841 704, 7 22, 50
6 40 28, 8 1600 1152, 0 28, 09
7 45 33, 5 2025 1507, 5 30, 63
8 37 27, 6 1369 1021, 2 26, 57
9 35 23, 0 1225 805, 0 25, 55
10 40 29, 4 1600 1176, 0 28, 09
11 50 30, 5 2500 1525, 0 33, 18
12 52 35, 0 2704 1820, 0 34, 19 I 466 330, 0 18658 13100, 5 330, 0
У =А< *о, аи а2, аъ; х) =< я0 + аххх + а2х2 + а3х3 (8.9)
система нормальных уравнений имеет вид
N. N. N. N.
Gt; / 5> 2У 2> з 2У
7 = 1 7=1 7=1 7=1
N л N 3 N N
N. N I Л2 N I. л N,. л N,.
й0 ——•+«{ ——------- -+а2— ------------- +«з }~ ~; ~
N 1 N N N - N
N. N,. л N, Л2 N, / л N,. л
М X */** X х2; I х2^ X у^
7=1 7=1 7=1 7=1 7=1
оп------ +й| ------------ +о? ---------- +а-> -------------- =--------------;
и N 1 N г N 3 N N
N. N,. л N,. л N, л2 N,. л
14 ^(х{хЛ 1^ ХЙ ъ(уЧ)
7 = 1 7 = 1 ' / = Г ' у'=Г 7 у = Г 7
ап- ----- +а\- ----------- +ат------------ +а-> ------------- =-------------.
0 N ' N 2 N 3 N N
Таким образом, система нормальных уравнений (8.4) для рассматриваемой задачи будет иметь вид
12а1 + 466о2 = 330, 0; 466а, + 18658а2= 13100, 5.
Для решения разделим каждое уравнение на коэффициент при а{. Получим
^ + 38, 833^ = 27, 500; ах + 40, 039о2 = 28, 113.
Вычтем из второго уравнения первое:
1, 206а2 = 0, 613, откуда а2 = 0, 508.
Подставив значение а2 в любое из уравнений, найдем а, = 27, 5-38, 833-0, 508 = 7, 77.
Таким образом, линейное представление зависимости урожайности пшеницы от оценки качества земли имеет вид
у=/(х)=7, 77+0, 508х.
Графическое представление этой зависимости и было дано на рисунке 5. Численные значения урожайности у, рассчитанные по полученной формуле, представлены в последнем столбце таблицы 14.
Аналогичные расчеты можно провести, если представление рассматриваемой зависимости искать не в классе линейных функций, а, например, в классе полиномов второй степени (парабол). В этом случае необходимо исходить из регрессии вида (8.5) и соответственно системы нормальных уравнений вида (8.6). Необходимые промежуточные вычисления представлены в таблице 15.
15. Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений (параболическая регрессия, задача 8.1)
| ] | X | У | ху | X1 | хгу | X3 | X* | У |
| 23, 5 | 705, 0 | 21150, 0 | 23, 11 | |||||
| 23, 7 | 829, 5 | 29032, 4 | 25, 52 | |||||
| 24, 0 | 840, 0 | 29400, 0 | 25, 52 | |||||
| 26, 7 | 1014, 6 | 38554, 8 | 27, 01 | |||||
| 24, 3 | 704, 7 | 20436, 3 | 22, 64 | |||||
| 28, 8 | 1152, 0 | 46080, 0 | 28, 02 | |||||
| 33, 5 | . 1507, 5 | 67837, 5 | 30, 58 | |||||
| 27, 6 | 1021, 2 | 37784, 4 | 26, 51 | |||||
| 23, 0 | 805, 0 | 28175, 0 | 25, 52 | |||||
| 29, 4 | 1176, 0 | 47040, 0 | 28, 02 | |||||
| 30, 5 | 1525, 0 | 76250, 0 | 33, 23 | |||||
| 35, 0 | 1820, 0 | 94640, 0 | 34, 32 | |||||
| Е | 330, 0 | 13100, 5 | 536380, 5 | 330, 01 |
С учетом результатов, рассчитанных в последней строке таблицы! 5, система нормальных уравнений (8.6) приобретает вид
12й, + 466а2 + 18658д3 = 330, 0;
466ах + 18658а2 + 707272а3 =13100, 5;
18658л, + 770272д2 + 32760694д3 + 536380, 5.
Решая эту систему по аналогичной схеме1, получим значения коэффициентов аъ а2, а3 и соответствующую сглаженную зависимость урожайности пшеницы от качества земли:
у=/(х)=10, 3+0, 38х+0, 001бх2.
Сравнение двух представлений (последние столбцы табл. 14 и 15) наглядно демонстрирует тот факт, что в условиях рассматриваемой выборки линейное и параболическое представления практически неразличимы, и если выбор осуществлять лишь между этими двумя, достаточно ограничиться линейным.
Задача 8.2. Найти зависимость потерь времени смены на холостые повороты и заезды комбайна СК-6 «Колос» при прямом комбайнировании на уборке зерновых колосовых (у, %) от длины гона (дг, км) по исходным данным, представленным в таблице 16. При построении регрессии полагать, что искомая зависимость
является гиперболической: У=а\+ —•
|
|