I :>.

УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

С.Н.Волков

ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Том 4

Рекомендовано Министерством сельского хозяйства Рос­сийской Федерации в качестве учебника для студентов выс­ших учебных заведений по специальностям: 310900 «Зем­леустройство», 311000 «Земельный кадастр», 311100 «Го­родской кадастр»

МОСКВА «КОЛОС» 2001

УДК 332.3: 330.46(075.8) ББК 65.32-5я73 В67

Редакторы О. Н. Кагановская, В. И. Письменный

Р е ц е н з е н т ы: Л. Ф. Никулин, доктор экономических наук, профессор (Россий­ская экономическая академия им. Г. В. Плеханова); М. И. Коробочкин, доктор тех­нических наук, профессор

Волков С. Н.

" 67 Землеустройство. Экономико-математические методы и

модели. Т. 4. — М.: Колос, 2001. — 696 с. (Учебники и учеб­ные пособия для студентов высш. учеб. заведений). 13В^ 5-10-003691-1 (т. 4). 5-10-003689-3.

Данный том подготовлен в соответствии с программой курса «Экономико-математические ме­тоды и моделирование в землеустройстве». В полном объеме изложен теоретический материал по аналитическому моделированию, производственным функциям, линейному программированию (с конкретными примерами). Около половины объема книги посвящено математическим моделям, реально используемым в практике землеустроительного проектирования.

Для студентов вузов землеустроительных специальностей.

УДК 332.3: 330.46(075.8) ББК 65.32-5я73

Учебное издание

Волков Сергей Николаевич

ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Том 4

Учебник для вузов

Художественный редактор Т. И. Мельникова, Технические редакторы //. А. Зубкова,

В. А. Маланичева, Т. Я. Белобородова. Компьютерная графика М. М. Иванов, С. В. Иванов.

Корректоры М. Ф. Казакова, Л. А. Котова, В. Н. Маркина

Лицензия № 010159 от 06.03.97 г.

Сдано в набор 04.10.2000. Подписано в печать 21.03.2001. Формат 60x88'/,,,. бумага офсетная № 1. Гарнитура Ньютон. Печать офсетная. Усл. печ. л. 42, 63. Уч.-изд. л. 48, 17. И зд. № 065. Тираж 3000 экз.

Закю'№2624 «С» №011.

Федеральное государственное ордена Трудовою Красного Знамени унитарное предприятие «Издательство «Колос», Ш7996, ГСП-6, Москва, Е-78, ул. Садовая-Сшсскпя, ]Х

Типография ОАО «Внешторгиздат», 127576, Москва, Илимская, 7.

ВЫ 5-10-003691-1

9" 785100" 036919"

13ВК 5—10—003691 — 1 (т. 4)

5— 10—003689—3 © Волков С. Н., 2001

ВВЕДЕНИЕ

В условиях крупномасштабных земельных преобразований су­щественно возрастают объемы землеустроительных работ в Рос­сийской Федерации, повышаются требования к обоснованию проектных землеустроительных решений. Это требует как боль­шей производительности труда инженеров-землеустроителей, гак и улучшения качества землеустроительных работ.

Научные исследования и практика землеустройства показали, что для принятия управленческих и организационно-хозяйствен­ных решений в области землепользования в настоящее время це­лесообразно шире использовать математический аппарат, в том числе экономико-математические методы, моделирование с ре­шением задач на компьютере.

Это требует глубокого изучения студентами, обучающимися но специальности 310900 «Землеустройство», учебной дисципли­ны «Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве», получения теоретических знаний и практичес­ких навыков решения конкретных задач (по образованию новых и упорядочению существующих землевладений и землепользова­нии, организации территории сельскохозяйственных предприя­тий, осуществлению природоохранных мероприятий, внедрению жономического механизма регулирования земельных отноше­ний).

Необходимость изучения данной дисциплины диктуется так­же и тем, что в настоящее время все землеустроительные проект­ные организации, стационарная служба и частные землемеры ос­нащены современной компьютерной техникой, позволяющей решать весьма сложные задачи. Землеустроительное производ­ство нуждается в инженерных кадрах, хорошо владеющих мето­дами экономико-математического моделирования.

Возможность применения методов математического модели­рования в землеустройстве обусловлена тем, что основные реше­ния проектов землеустройства имеют многовариантный харак­тер, а искомые величины проектных задач, как правило, выража­ются численно (площади, длины линий, координаты местополо-

жения, объемы смываемой почвы и др.); их можно связать систе­мой уравнений и неравенств и объединить определенной целе­вой установкой.

Первое применение математики и техники вычислений отно­сится еще ко времени возникновения землеустройства (землеме­рия, межевания), так как имелась необходимость измерять и вы­числять площади земельных участков, а в ряде случаев и нахо­дить оптимальные размеры перераспределения земель. Уже тогда появились математические формулы для расчета площадей пра­вильных фигур (квадратов, треугольников, трапеций), участков с изломанными границами и землевладений неправильной формы. А для получения максимальных или минимальных площадей уча­стков при заданных периметрах стали использовать с середины XVIII в. классические методы дифференциального исчисления. Поэтому математические исследования связывались тогда с оп­ределением формул для расчета площадей, точностью вычисле­ний (ибо дело приходилось иметь с приближенными числами), математической обработкой результатов геодезических измере­ний, а также созданием различных технических средств, способ­ных ускорить и упростить не только процесс измерения, но и вычисления площадей.

Экономико-математические методы и моделирование в со­временном понимании этих понятий стали применяться в земле­устройстве с начала 60-х годов XX в. Их развитие шло параллель­но с совершенствованием теории и методов инженерно-эконо­мических расчетов и экономико-математических исследований в аграрной экономике.

Развитие экономико-математических исследований в земле­устройстве можно разделить на три этапа.

На первом этапе, который длился с начала 60-х до конца 70-х годов, были обоснованы необходимость и возможность примене­ния экономико-математических методов и моделей в землеуст­ройстве. В это время были сформулированы основные экономи­ко-математические задачи. В качестве базовых использовали ме­тоды линейного программирования (транспортная задача, реша­емая с использованием метода потенциалов, а также симплекс-метод). Начали применяться также приемы динами­ческого, параметрического, целочисленного и стохастического программирования.

Для обоснования проектных землеустроительных решений, а также для расчета технико-экономических коэффициентов экономико-математических задач, планирования и прогнози­рования использования и охраны земель строились линейные, параболические, гиперболические, степенные и другие виды

производственных функций. В это же время в практику органи­зации и планирования землеустроительных работ вошли методы сетевого планирования и управления землеустроительным про­цессом.

Кроме того, было обосновано применение классических мето­дов дифференциального исчисления при нахождении оптимальных землеустроительных решений, а также итерационных способов рас­чета местоположения объектов производственной и социальной инфраструктуры села (метод последовательных приближений).

На первом этапе моделировались и решались в основном за­дачи проектов внутрихозяйственного землеустройства.

Прогресс в применении экономико-математических мето­дов и моделей в землеустройстве в это время был связан с раз-питием средств вычислительной техники. Первоначально зем-меустроительные организации, обеспеченные арифмометрами, решали экспериментальные единичные задачи симплекс-ме­тодом с размером матрицы не более 10 х 10 и доводили реше­ние до реального плана путем различных корректировок. С появлением разнообразных механических, электромеханичес­ких, релейных и других настольных вычислительных машин полуавтоматического или автоматического типа, а затем и электронных цифровых вычислительных машин («Урал», «Минск», «Наири», «ЕС-ЭВМ») размеры матриц задач стали увеличиваться — от 20 х 20 до 100 х 100 и более. Это уже позво­ляло решать вполне реальные землеустроительные задачи на уровне сельскохозяйственных предприятий и перейти к освое­нию задач по организации рационального использования и ох­ране земель на уровне административных районов и областей (краев, республик).

Создавались также экономико-математические задачи блоч­ного типа, решения которых включались в схемы землеустрой­ства районов, генеральные схемы использования и охраны зе­мель областей и республик, другие предпроектные и предплано­вые землеустроительные документы, а также в проекты межхо-(нйетвенного землеустройства.

Второй этап внедрения экономико-математических методов и моделирования в землеустройстве относится к 80-м годам; он связан с обоснованием и созданием автоматизированных систем плановых расчетов (АСПР), систем автоматизированного проек­тирования (САПР), разного рода автоматизированных рабочих мест (АРМ) в землеустройстве.

В это время рутинные операции по заполнению огромных матриц экономико-математических задач стали заменять специ­ально разработанными программными процедурами, позволяю-

1ЦИМИ с использованием персональных электронно-вычисли­тельных машин (ПЭВМ) находить необходимые коэффициенты, и автомат шроианном режиме строить матрицы и решать опти­мизационные задачи. Стали создавать информационные базы данных, ионюляющие расширить круг решаемых задач. Впервые появилась возможность напрямую работать с ПЭВМ в интерак­тивном, диалоговом режиме и за небольшие промежутки време­ни просматривать огромный объем информации, принимая наи­лучшие проектные решения.

На третьем этапе, который начался в 90-е годы, произошло почти полное техническое перевооружение землеустроительной службы страны, ее оснащение современной отечественной и за­рубежной вычислительной техникой, что позволило поставить экономико-математические исследования в землеустройстве на качественно новый уровень. Это было связано сразу с несколь­кими причинами.

Во-первых, появилась возможность получать цифровые моде­ли рельефа местности на основании обработки космических и аэрофотоснимков, а также топографо-геодезических данных, по­лученных наземным путем с использованием электронных изме­рительных приборов. Кроме того, стали широко использоваться разнообразные средства преобразования графической информа­ции в цифровую (дигитайзеры, сканеры и др.).

Во-вторых, в это время получили быстрое развитие географи­ческие информационные системы (ГИС), а в землеустройстве — геоинформационные или земельно-информационные системы (ЗИС).

В-третьих, произошло существенное обновление электрон­но-вычислительной техники с внедрением в землеустроитель­ное производство специальных графических станций, компью­терных сетей с серверами большой мощности, средств цифро­вой картографии и фотограмметрии, систем автоматизирован­ного земельного кадастра и т. д. На этой базе возникли новые ЗИС-технологии, которые начали применять для решения кон­кретных землеустроительных задач и к которым стали привязы­вать системы автоматизированного землеустроительного проек­тирования.

На базе земельно-информационных систем и технологий ста­ли разрабатывать:

планы, карты, картограммы по агроэкологической классифи­кации земель, землеустроительному обследованию территории, оценке потенциальной опасности эрозии и другие материалы, используемые в качестве предпроектных проработок;

графические решения проектов землеустройства, учитываю-

щие оптимальное размещение линейных объектов организации территории (дорог, лесополос, границ и т.д.);

технические проекты землеустройства с вычислением площа­дей участков и составлением проектной экспликации;

оптимальные планы размещения посевов сельскохозяйствен­ных культур по участкам различного плодородия, трансформа­ции земельных угодий, схемы севооборотов, размещения на тер­ритории хозяйств населенных пунктов, животноводческих ферм и других производственных центров и т. д.

Уже первые результаты проведенных исследований показали высокую эффективность ЗИС-технологий и однозначно указали на то, что в будущем они станут основными при решении земле­устроительных задач с использованием экономико-математичес­ких методов и моделирования. Это потребовало усилить матема­тическую подготовку студентов, внести существенные измене­ния в курс «Экономико-математические методы и моделирова­ние в землеустройстве».

Преподавание экономико-математических методов инжене­рам-землеустроителям началось в 1964 г., когда в Московском институте инженеров землеустройства (ныне Государственном университете по землеустройству) в курсе «Счетно-решающие устройства и их применение» стали изучать вопросы, связанные с решением инженерно-экономических задач методами линей­ного программирования.

В начале 70-х годов на землеустроительных факультетах сельс­кохозяйственных вузов был введен учебный курс «Вычислитель-пая техника и экономико-математические методы в землеуст­ройстве», а с 1974 г.— самостоятельная учебная дисциплина «Экономико-математические методы в землеустройстве». В 1988 г. данный курс трансформировался в учебную дисциплину «Экономико-математические методы и моделирование в земле­устройстве», которая в настоящее время преподается в 38 вузах России, готовящих инженеров в области землеустройства и када­стра.

Написанный под редакцией профессора С. Н. Волкова и до­цента Л. С. Твердовской в 1991 г. «Практикум по экономико-ма­тематическим методам и моделированию в землеустройстве» (М.: Колос, 1991) до настоящего времени фактически оставался един­ственным базовым учебным пособием по данной дисциплине, опубликованным в центральном издательстве. Кардинальные из­менения, происшедшие в землеустроительной науке и производ­стве за последние годы, потребовали подготовки нового учебни­ки, который соответствовал бы современному уровню требова­ний.

Учебник написан в соответствии с программой курса «Эконо­мико-математические методы и моделирование в землеустрой­стве», рекомендованной Учебно-методическим объединением вузов России по образованию в области землеустройства и кадас­тра и утвержденной в 1999 г.

Предметом изучения данной дисциплины согласно классифи­кации отраслей научных землеустроительных знаний являются способы и приемы экономико-математического моделирования в землеустройстве и соответствующие ему новые методы (техно­логии) производства землеустроительных работ с использовани­ем ЭВМ.

Учебник подготовлен заслуженным деятелем науки РФ, про­фессором, доктором экономических наук С. Н. Волковым. Разде­лы III и V написаны совместно с профессором, доктором техни­ческих наук А. Н. Безгиновым. Авторы выражают большую бла­годарность заведующей лабораторией автоматизированного зем­леустроительного проектирования доценту В. В. Бугаевской за помощь в подготовке рукописи к изданию.

Раздел I

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

ОБ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ

И МОДЕЛИРОВАНИИ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ

Глава 1

МОДЕЛИРОВАНИЕ И СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

1.1. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

Термин «модель» происходит от латинского тос1и1из — обра­зец, норма, мера. Модель является частным случаем аналогии — важного метода научного познания. В любых отраслях знания при объяснении сложных явлений или процессов исследователь чаще всего ищет сходства с тем, что уже известно науке. Таким образом, люди стремятся к объяснению неизвестного, непонят­ного через известное и уже понятое.

Сходство или аналогию в жизни можно встретить повсемест­но. Например, макет (модель) здания воспроизводит его архи­тектуру, топографо-геодезическая карта местности говорит о ха­рактере ландшафта, модель корабля или самолета свидетельству­ет об их внешнем виде, возможностях, пропорциях. Наиболее известны три типа моделей: геометрические, физические, мате­матические.

Геометрические модели представляют некоторый объект, гео­метрически подобный своему прототипу (оригиналу). Они дают внешнее представление об оригинале и большей частью служат для демонстрационных целей. К этому виду моделей можно от­нести репродукции или копии картин, написанных одинаковыми красками по определенной технологии, других живописных из­делий (икон, фресок); слепки, выполненные в натуральную ве­личину из того же материала, что и оригинал, или из другого ма­териала (копии скульптуры); демонстрационные модели деталей машины, муляжи плодов и др. Чаще, однако, модели выполня­ются в другом масштабе (макет здания, модель корабля, топогра-фо-геодезический макет местности, модель почвенного разреза).

При построении данного типа моделей основную роль играет их геометрическое подобие объектам, а не процессам, протекаю­щим в них. Например, модель тела человека в гипсе или бронзе ничего не говорит о физиологических процессах, протекающих в его организме, топографо-геодезический макет местности--о

кругообороте воды в природе, а модель почвенного разреза —о физико-химических процессах, протекающих в данном типе почв.

Физические модели отражают подобие между оригиналом и мо­делью не только с точки зрения их формы и геометрических про­порций, но и с точки зрения происходящих в них основных фи­зических процессов. По своей природе они могут быть механи­ческими, гидравлическими, электрическими.

При физическом моделировании модель и ее прототип всегда являются объектами, имеющими одинаковую физическую при­роду. Типичные примеры — определение аэродинамических свойств летательных аппаратов путем «продувки» их моделей в аэродинамической трубе, исследование предполагаемого «пове­дения» гидротехнических сооружений (плотин, дамб, шлюзов и т. д.) путем проведения испытаний аналогичных объектов значи­тельно меньших размеров, сконструированных специально для этих целей, и т. д. В данном случае изменяются не только геомет­рические размеры модели, но соответственно им и другие физи­ческие свойства объекта. Например, при построении модели плотины в 1/10 натуральной величины в 10 раз уменьшается и давление на нее воды, что должно учитываться в дальнейшем при строительстве.

Геометрические и физические модели относятся к классу ве­щественных (материальных) моделей. Они являются или матери­альными копиями, или физически действующими устройствами (например, модель трактора или ирригационной системы), точно копируя объект или заметно отличаясь от него, сохраняя общ­ность лишь в принципах строения или функционирования.

Математические модели представляют собой абстрактные описания объектов, явлений или процессов с помощью знаков (символов), поэтому их называют также абстрактными или зна­ковыми. Обычно они имеют вид некой совокупности уравнений или неравенств, таблиц, графиков, формул и других средств ма­тематического описания моделируемых объектов, явлений, про­цессов.

Математические модели применяются, как правило, в тех слу­чаях, когда геометрическое или физическое моделирование объекта затруднено или невозможно вообще. Они имеют особую структуру, отражающую свойства объекта, проявляемые им в конкретных условиях его функционирования. Такие модели ши­роко используются в астрономии, физике, механике, структур­ной лингвистике.

В экономике и землеустройстве геометрические и физические модели применяются крайне редко. Примером могут служить эк­спериментальные системы ведения сельского хозяйства, экспе­риментальные севообороты, системы расселения и организации территории, освоение которых происходит в течение многих лет

К)

и эффективность которых проявляется также через многие годы. Как правило, в этих науках пользуются математическими моде­лями.

Все модели обладают рядом общих свойств:

они подобны изучаемому объекту и отражают его наиболее су­щественные стороны;

при исследовании модели способны замещать изучаемый объект, явление или процесс;

они дают информацию не только о самом моделируемом объекте, но и о его предполагаемом поведении при изменяющих­ся условиях.

Таким образом, основное назначение модели — служить сред­ством познания оригинала. При этом нет необходимости, чтобы модель отражала абсолютно все свойства изучаемого объекта (ко­торых может быть бесчисленное множество). Создавая модель, исследователь должен заранее поставить конкретную цель, опре­деляющую ее характер. Для решения практических задач крайне важно обеспечить такое подобие модели оригиналу, при котором в наиболее существенных аспектах достигается цель моделирова­ния.

Под моделированием в узком смысле слова мы понимаем пост­роение модели изучаемого объекта, явления или процесса.

Объект — это физическое (материальное) тело, вещь. Для его изучения используются, как правило, геометрические модели (хотя современные компьютерные технологии позволяют созда­вать и цифровые математические модели материальных объек­тов).

Явление — это внешние свойства и признаки предмета, пости­гаемые через ощущение, восприятие, представление. Например, цветок — это объект (предмет), а его свойства проявляются через форму, цвет, запах. В парфюмерной промышленности моделиру­ются запахи, в текстильной — цветовая гамма и формы.

В явлениях обнаруживаются законы: так, упавшее яблоко на­толкнуло И. Ньютона на мысль о законе всемирного тяготения.

Особенно важно изучение с помощью моделей экономичес­ких явлений. Например, цена (явление) отражает объективно действующий экономический закон стоимости. Поэтому моде­лирование цен может помочь сознательно использовать закон стоимости в экономической политике государства.

Процесс — это ход, развитие явления, последовательная смена состояний объекта. Если явление представляет статическое, по­стоянное качество, то процесс всегда обладает динамическими характеристиками. Например, цепная реакция — это процесс, используемый в атомной энергетике. Моделирование роста и развития растений в биологии — это моделирование процессов.

Термины «модель» и «моделирование» относятся к понятиям кибернетики — науки, изучающей общие закономерности строе-

ния и функционирования сложных систем управления. Так как любые процессы управления связаны с принятием решений на основе получаемой информации, то кибернетику часто опреде­ляют как науку об общих законах получения, хранения, передачи и преобразования информации в сложных управляющих системах. Само слово «кибернетика» происходит от греческого суЬете1е$, что означает «рулевой», «кормчий»; в Древней Греции киберне­тикой называли науку о кораблевождении, навигацию. В 1834 г., составляя классификацию наук, известный французский ученый А. М. Ампер назвал кибернетикой науку об управлении обще­ственными системами, но вскоре этот термин был забыт.

Появление кибернетики как самостоятельного научного на­правления относят к 1948 г., когда американский ученый, про­фессор математики Массачусетского технологического института Норберт Винер (1894—1964) опубликовал книгу «Кибернетика, или управление и связь в животном и машине». В этом труде Ви­нер обобщил закономерности, относящиеся к системам управле­ния различной природы — биологическим, техническим и соци­альным. Вопросы управления в социальных системах были им более подробно рассмотрены в книге «Кибернетика и общество», опубликованной в 1954 г.

В конце 60-х — начале 70-х годов Министерством высшего и среднего специального образования СССР и Министерством сельского хозяйства СССР была начата подготовка студентов по специальности «Экономическая кибернетика», а в сельскохозяй­ственных вузах — по специальности «Экономическая кибернети­ка в сельском хозяйстве». В ряде сельскохозяйственных вузов (ТСХА, Воронежский СХИ, Ленинградский СХИ, Новосибирс­кий СХИ, Одесский СХИ и др.) были открыты кафедры эконо­мической кибернетики.

Экономическая кибернетика использует наряду с понятиями «модель» и «моделирование», ряд других: «система», «информа­ция», «управление».

Системой называется относительно обособленная и упорядо­ченная совокупность обладающих особой связностью и целесо­образно взаимодействующих элементов, способных реализовать определенные функции. Более кратко система определяется как упорядоченная совокупность элементов, рассматриваемых во взаи­модействии.

Информация — это совокупность сведений о состоянии систе­мы, се подсистем и элементов, а также о происходящих в них процессах.

Управление — это процесс целенаправленного воздействия на управляемую систему на основе имеющейся информации с це­лью обеспечить ее контролируемое поведение при изменяющих­ся внешних условиях.

С точки зрения кибернетики объектами моделирования явля-

I: >.

ются системы, а само моделирование предполагает, что имеются две системы:

система-оригинал, которой мы управляем или должны управ­лять;

модель системы, ее аналог, который позволяет раскрыть свой­ства системы-оригинала, изучить закономерности ее поведения и получить информацию для воздействия на систему-оригинал в желаемом направлении.

Метод моделирования, сочетающий приемы эмпирического и теоретического познания, эффективно используется в самых раз­личных областях науки. Благодаря ему удается зафиксировать и упорядочить имеющуюся информацию об объектах, объяснить некоторые их свойства и сложные зависимости, получить новую информацию о еще неизвестных свойствах, о возможных изме­нениях состояния объектов, проверить возникающие при этом гипотезы и теоретические предположения. Еще древние атомис­ты (Демокрит, Эпикур, Лукреций Кар) строили мысленные мо­дели атома, их движения и соединения между собой, стремясь объяснить при помощи этих моделей физические свойства ве­щей.

На протяжении столетий шла борьба между сторонниками геоцентрической и гелиоцентрической моделей Вселенной. Бур­ное развитие механики в XVII—XIX вв. породило представление о том, что все явления действительности можно свести к механи­ческому движению и объяснить механическими моделями. В конце XIX — начале XX в. в связи с возникновением теории от­носительности и квантовой механики пришло понимание огра­ниченности классической физики. На первый план выдвинулись знаковые модели, представляющие собой описание явлений с помощью математических символов. Уже в это время метод мо­делирования широко входит в практику научного эксперимента.

В математике моделями пользовались с самого ее зарождения. По мере развития математики, совершенствования ее методов и средств круг объектов математического моделирования постоян­но расширялся. Термин «модель» вошел в математику в прошлом столетии в связи с возникновением неевклидовых геометрий Ло­бачевского, Бойяи, Римана.

Теория моделирования дает ответ и на вопрос о роли проек­тирования (архитектурного, строительного, планировочного и застроечного, землеустроительного и др.). При проектировании также используется принцип аналогии, но специалиста-проекти­ровщика интересует не форма, а функциональное назначение и структура объекта. Так, например, само здание и его архитектур­ный проект (чертеж) аналогичны по функциональному назначе­нию и структуре, хотя внешнего сходства форм здесь не просле­живается.

Особенно отчетливо принцип аналогии проявляется при раз-

работке проекта землеустройства. Если здания можно «постро­ить» на дисплее компьютера, то это практически невозможно для проекта землеустройства. Реальная организация территории на местности может получить завершенную форму только через много лет, когда будут проложены дороги, заложены сады и ле­сополосы, построены здания и сооружения, мелиоративные сети, введены и освоены севообороты и т.д. Поэтому проект землеустройства представляет собой своеобразную модель орга­низации территории землевладения и землепользования на перс­пективу; основным методом его разработки является метод мате­матического моделирования.

Резюмируя сказанное, мы можем определить математическое моделирование как формализованное представление поведения реальных систем в виде абстрактных аналогов, описанных систе­мами уравнений, неравенств и другими способами, применяемы­ми в математике.