Особливості загального розв’язку другої задачі динаміки матеріальної точки.

Друга задача: задані сила , а також і . Знайти закон руху точки.

Іншими словами, тут обов'язково задаються положення і швидкість точки в на-чальный момент часу (для простоти ми вважаємо його нульовими).

Розпишемо диференціальні рівняння руху точки в проекціях на декарто-вы осі, причому детальніше, ніж ми робили це раніше:

Рішення задачі зводиться до інтеграції цієї системи диференціальних рівнянь з урахуванням початкових умов.

Значить, друге завдання динаміки значно складніше за перше. Якщо там йшлося про диференціювання заданої функції часу, то тепер йдеться про інтеграцію системи диференціальних рівнянь (як правило, нелінійних). У загальному випадку ця інтеграція не може бути виконана в замкнутій формі. Тоді удаються до чисельного интегриро-ванию (за допомогою комп'ютера); рішення при цьому виходить прибли-женным. Розглянемо послідовність дій у тому випадку, коли ана-литическое рішення задачі все ж виявляється можливим. Зазвичай і для чисельного, і для аналітичного вирішення систему диференціальних рівнянь перетворять до нормальної форми Коші:

Припустимо, нам вдалося в аналітичному виді отримати рішення цієї системи шести диференціальних рівнянь першого порядку.

Загальний розв'язок:

де C1,., C6 - постійні інтeгрування.

Число цих довільних постійних дорівнює порядку системи.

Для отримання закону руху треба тепер скористатися відомими в ну-левой момент часу положенням і швидкістю точки.

Початкові умови при t=0:

Підставляючи в (∗) і ці початкові умови, отримуємо шість алгебраїчних рівнянь відносно C1,., C6. Знайшовши їх значення, підставляємо ці значення в (∗) і отримуємо шуканий закон руху.

Зауваження. При рішенні завдань динаміки скованої матеріальної точки треба доповнити рівняння руху рівняннями зв'язків.