Пример. Решается задача выбора авиакомпании для перелёта из одного города в другой

Решается задача выбора авиакомпании для перелёта из одного города в другой. Авиакомпании предлагают пассажирам разные нормативы бесплатной перевозки багажа при полёте экономическим классом: у большинства это 20 кг, а у некоторых – 30 кг. Если показатель важен для нас (много багажа и, скорее всего, не уложимся в норму), то строку вычёркивать нельзя и нужно её выровнять. Это сделать легко: исправим в столбце, где записано 20, на 30, а к стоимости билета в этом же столбце добавим стоимость перевозки 10 лишних килограммов. Полученные варианты решений эквивалентны, у нас получилась однородная строка с весом, которую можно вычеркнуть.

Таким образом, метод замещений заключается в чередовании операций вычёркивания столбцов и строк матрицы, представленной выше. Плюсы метода –ЛПР задаются не абстрактные вопросы, что лучше, а конкретные вопросы – типа «Насколько дороже?». Минусы – Возможность использования только с заранее заданными вариантами решения, и исключительно «творческий» характер задач, возлагаемых на ЛПР: он самостоятельно определяет, какие строки будет выравнивать и чем будет их компенсировать.

Выводы.

В случае если задача принятия решений оказывается многокритериальной, необходимо поступать следующим образом

1. Чётко сформулировать критерии, попытаться выделить множество эффективных альтернатив. Если альтернатив осталось мало ЛПР будет несложно сопоставить их самостоятельно.

2. Проверить возможность построения аддитивной функции ценности (линейной свёртки критериев). Если это возможно, построить такую функцию и дальше отыскивать альтернативу, обеспечивающую её максимальное значение. Применять обычные способы решения задач линейного программирования.

3. Если условия независимости по предпочтению не соблюдаются, то можно использовать интегральные критерии качества, здесь необходим совет специалиста.

4. Для решения любых многокритериальных задач можно использовать следующие методы:

a. Метод анализа иерархий

b. Метод многовариантной свёртки

c. Метод замещений

4. Принятие решений в условиях неопределённости.

Постановка задач в условиях неопределённости и риска заключается в следующем: человек выбирает какие-либо действия в мире, где на полученный результат (исход) действия влияют случайные события, неподвластные человеку, но, имея некоторые знания о вероятностях этих событий, человек может рассчитать наиболее выгодную совокупность и очерёдность своих действий. Принимая решение в условиях неопределённости, ЛПР рискует.

Риск - это сложное явление, характеристиками которого являются: неизвестность (неопределённость) будущих результатов, вероятность отрицательных результатов деятельности, их величина, а также значимость для принимающего решение.

Основными способами решения таких задач являются применение теории полезности, дерево решений и теория игр.

Теория полезности.

В теории полезности вводится 6 аксиом рационального поведения. При условии, что эти аксиомы справедливы, доказывается теорема о существовании некоей функции, устанавливающей человеческий выбор, - функции полезности. Попросить дома в учебнике О. И. Ларичева найти эти шесть аксиом рационального поведения. Эта функция суть та же функция ценности в условиях неопределённости.

Дерево решений.

Дерево решений – это графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

Процесс принятия решений с помощью дерева решений состоит из следующих этапов:

1. Постановка задачи. Определяется возможность сбора информации; составляется перечень событий, которые могут произойти с определённой вероятностью; устанавливается временной порядок расположения событий (что раньше, что позже); последовательность действий, которые можно предпринять.

2. Строится дерево решений.

3. Оценивается вероятность каждого из состояний среды, то есть сопоставляются шансы возникновения каждого конкретного события: либо статистически либо экспертный. Статистический метод по своей сути является ретроспективным, то есть основывается на данных прошлых периодов, в то время как оценка относится к будущим событиям. Но, в то же время, он является объективным, в этом его достоинство. Экспертный метод даёт субъективные по своему характеру оценки, но зато он является достаточно гибким и нацелен на перспективу.

4. Устанавливаются выигрыши (или проигрыши) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды.

5. Решается задача. Решение задачи может быть разное в зависимости от отношения к риску ЛПР.

Рассмотрим следующий пример лотереи. Пусть билет стоит 10$, вероятность выигрыша 100$ составляет 0, 5. Один человек не купит, чтобы не потерять 10$, кто-то готов заплатить 50$ (с учётом вероятности 0, 5), а кто-то даже 60$ (если ему нужно для себя именно 100$ и наличие или отсутствие 60$ для него не решает проблему).

Введём понятие безусловного денежного эквивалента (БДЭ) – это максимальная сумма денег, которую ЛПР готов заплатить за участие или минимальная сумма, за которую он готов отказаться от участия (одно и то же). ЛПР, для которого БДЭ совпадает со средним ожидаемым выигрышем (функция полезности), условно называют объективистом или рациональным человеком. Те, у кого не совпадают, называются субъективистами. Средний выигрыш в нашей лотерее равен 0*0, 5+100*0, 5=50, следовательно, тот, кто готов заплатить 50$ - объективист, остальные два субъективисты. Первый из них, который не хочет платить 10$ - не склонен к риску (пессимист) (БДЭ< полезности), а последний, наоборот, склонен к риску (оптимист).

С формальной точки зрения деревья решений представляют собой древовидные графы, вершины которых могут быть двух типов: вершины – решения (обозначаются квадратиками) и вершины – события (обозначаются кружками). Дуги представляют собой переходы между логически связанными решениями и случайными событиями.

Вершины – решения соответствуют тем решениям, которые принимает ЛПР. Из вершины решения исходит столько дуг, сколько имеется вариантов. В общем случае за одним решением может непосредственно следовать другое. Это означает, что принятие одного решения приводит к необходимости принять какое-то другое решение. Например, решение о покупке автомобиля приводит к необходимости принять решение о выборе страховой компании, в которой будет куплен полис ОСАГО.

Из вершины – события также может исходить несколько дуг, но здесь уже выбор осуществляется случайным образом. Отдельные дуги соответствуют не вариантам решений (действий) ЛПР, как у вершины – решения, а исходам. Какой исход осуществится зависит от действий конкурентов, политической конъюктуры, погоды и т.д. То есть исход находится вне контроля ЛПР. Если решение принимается в условиях вероятностной неопределённости, то каждому исходу приписывается его вероятность. Если это так называемая невероятностная неопределённость, то у исходов нет вероятностей, но известно, что осуществится только один из них.

Построение дерева решений начинается от корня (обычно это исходное решение). При это стараются выявить полный спектр вариантов решения. Затем для каждого варианта выясняется, будет ли его принятие приводить к однозначным последствиям. Если да, то следующей вершиной на данной ветви дерева будет вершина-решение или, в случае, когда никаких новых решений принимать уже не нужно, - конечный результат, окончательный исход, соответствующий данному варианту решения. Если же нет, то есть последствия реализации рассматриваемого варианта решения однозначно определить невозможно, они находятся вне контроля ЛПР, то следующей вершиной на данной ветви дерева будет вершина-событие. Опять предпринимается попытка выявить все варианты возможных исходов, и процесс продолжается в том же порядке до тех пор, пока не будут перебраны все варианты решений и все варианты исходов. По традиции дерево решений рисуют слева (где располагается исходная вершина) направо.

Дерево решений наглядно показывает нам все последствия принимаемого решения, что очень полезно. Анализ дерева решений позволяет во многих случаях достаточно глубоко оценить эти последствия.Анализ дерева решений начинают с оконечных, так называемых висячих вершин (степень вершины равна единице) или листьев дерева. Если нет информации о характеристиках этих исходов, то оценить варианты решений мы не можем. Но, если получить характеристики конечных исходов, то можно оценить вершины, которые непосредственно с ними связаны (то есть начинают двигаться справа налево). Если из вершины-решения исходит несколько дуг, приводящих к висячим вершинам, то выбор должен быть сделан в пользу той, которая приводит к наилучшему результату. Этот наилучший результат и приписывается в качестве оценки этой вершине-решению. Если из вершины-события исходит несколько дуг, то здесь анализ становится не столь однозначным. Если мы хотим действовать наиболее консервативно, осторожно, то следует оценивать решение по худшему варианту, вариант безудержного оптимизма приводит к другой стратегии. Остальные варианты (например, взвешивания результатов исходов пропорционально вероятностям их наступления) лежат посредине между двумя этими крайностями. Такой вариант вычисления имеет смысл, если решение принимается многократно. В противном случае, мы сталкиваемся с ситуацией, когда будет выбран вариант, дающий лучший результат «в среднем», что не может быть ориентиром при однократной реализации решения.

Оценивая таким образом все вершины, мы приходим к начальной вершине. Путь, приводящий нас к начальной вершине, указывает на тот результат, на который ориентируется ЛПР, и на то решение, которое следует избрать.

Этот метод предъявляет жёсткие требования к информированности ЛПР, но применим во многих случаях, хотя бы на стадии предварительного анализа. Имеются специализированные программные средства, например, TreePlan, представляющий собой надстройку над MS Excel.

Разберём пример применения дерева решений.

Задача.

Химическая компания разработала и исследовала вариант улучшенной строительной краски. Нужно решить - производить самим, если «да», то какой мощности строить завод, либо продать патент, лицензию и технологию сторонней фирме, специализирующейся на производстве красок. При принятии решения нужно учесть неопределённости:

1. Неизвестен рынок сбыта по заданной цене;

2. Каковы расходы на рекламу, если будет принято решение производить самостоятельно;

3. Время, которое понадобится конкурентам для выпуска аналогичной продукции (успеет ли компания окупить затраты и стать лидером).

Можно косвенно получить сведения о состоянии рынка, опросив конкурентов, но к ним надо относится осторожно.

Будем учитывать два состояния рынка: благоприятный и неблагоприятный. Предположим, что каждый из этих исходов реализуется с вероятностью 0, 5 (то есть о рынке ничего неизвестно). Такой подход применяют при использовании для оценки альтернатив с помощью критерия недостаточного основания Лапласа. В этом случае, ориентируются на ту альтернативу, у которой математическое ожидание результата максимальное (сумма исходов, делённая на общее число исходов). Приблизительные сведения об исходах представлены в ниже приведённой таблице.

Вычислим для каждой ветви дерева ожидаемую оценку и отбросим неперспективные решения.

Для А1 оценка выигрыша 0, 5*200000+0, 5*(-180000)=10000у.е.

Для А2 оценка выигрыша 0, 5*100000+0, 5*(-15000)=42500у.е.

Для А3 оценка выигрыша 10000у.е.

Оценки по критерию недостаточного основания Лапласа совпадают с вычисленными.

Вывод – выгодно выбрать решение А2. Если же известно, что ситуация благоприятная, то выгодно выбрать А1, если неблагоприятная, то А3. Посчитаем средний денежный выигрыш этой задачи, то есть сколько можно заплатить фирме, предлагающей услуги по оценке ситуации на рынке.

Средний выигрыш = 0, 5*10000+0, 5*200000=105000у.е.

Вопрос: стоит ли воспользоваться услугами фирмы, которая просит за прогноз 10000у.е.

Попросить построить дерево решений, если у фирмы заказали прогноз состояния рынка за 10000у.е.. Известно, что её

Не всегда, однако ЛПР принимает рациональное решение. Приведём несколько примеров.