Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:.

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).
Найдём сначала общее решение ур-ия, т.е.

Разделяя переменные, имеем:,

Т.е.. Общее решение заданного уравнения ищем в виде. Подставляя y и в данное уравнения, получим:

Отсюда;; => общее решение ур-ия

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде,

где и − непрерывные функции.

Если m=0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m=1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
В общем случае, когда m≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки.

Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет вид

и может быть решено способами, описанными выше.

54. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида,

где − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:.

Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен:. Тогда корни характеристического уравнения и действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией, где C1 и C2 − произвольные действительные числа.

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D=0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D< 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни. Общее решение записывается в виде

Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы: