Эллипс, каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса.

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁, F₂ (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.

Элементы эллипса:
A₁A₂=2a - большая ось.

B₁B₂=2b - большая ось.

A₁ , A₂ , B_1, B_2, - вершины.

F₁(c; 0), F₂(-c; 0) – фокусы.

F₁F₂=2c - фокальное расстояние c²=a²-b²

- эксцентриситет. Эксцентриситет эллипса можно рассматривать, как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет, тем меньше отношение
r₁=a-ε x, r₂= a+ε x - фокальные радиусы - директрисы.

Каноническое уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса):

Параметрические уравнения:

.

39.Гипербола, каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет гиперболы. Асимптоты гиперболы.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами. Пусть на плоскости заданы две точки и и дано число a (0< a< c). Гипербола - множество точек M плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от точек и равен 2a. Точки и называются фокусами гиперболы; - действительная ось; - мнимая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы:

Каноническое уравнение:

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а ² = b² :

Если а=b, e= , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).