Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a кb вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

Формулы вычисления векторного произведения векторов

a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b = {a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y - a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

- Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах: S_парал = [a × b]

- Геометрический смысл векторного произведения.

Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

- Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.

- Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.

· a × b = -b × a

· (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

· (a + b) × c = a × c + b × c

Система координат на плоскости, основные понятия. Полярные координаты.

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа. В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, илисферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел {\displaystyle (x, y): }

· {\displaystyle x} — расстояние от точки P до оси y с учетом знака

· {\displaystyle y} — расстояние от точки P до оси x с учетом знака

· В пространстве необходимо уже 3 координаты {\displaystyle (x, y, z): }

· {\displaystyle x} — расстояние от точки P до плоскости yz

· {\displaystyle y} — расстояние от точки P до плоскости xz

· {\displaystyle z} — расстояние от точки P до плоскости xy