Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Уравнение касательной.
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x) в двух точках x 0 и x 0+ : f (x 0) и f (x 0+ ) Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0+ ) - f (x 0) называется приращением функции. Производной функции y = f (x) в точке x 0называется предел: Если этот предел существует, то функция f (x) называется дифференцируемой в точке x 0. Производная функции f (x) обозначается так: Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x): Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0, f (x 0)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0) имеет вид: y = f ’(x 0) · x + b. Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f (x 0)= f ’(x 0)· x 0 +b, отсюда, b = f (x 0)– f ’(x 0)· x 0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной: y = f (x 0) + f ’(x 0) · (x – x 0). Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от t 0 до t 0+ точка перемещается на расстояние: x (t 0+ )- x (t 0)= , а её средняя скорость равна: va= / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t 0) материальной точки в момент времени t 0. Но по определению производной мы имеем: отсюда, v (t 0) =x’ (t 0), т.e. скорость – это производная координаты по времени Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).
|