Асимметрия распределения

Как уже отмечалось в § 5.3, если большая часть совокупности расположена левее центра распределения, имеет место левосторонняя асимметрия ( < М_е < М_о), а если правее – правосторонняя (М_о < М_е < ).

Простейшей мерой асимметричности распределения являет­ся отклонение между характеристиками центра распределения. Поскольку в симметричном распределении = Me = Мо, то чем заметнее асимметрия, тем больше отклонение ( -Мо).

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывается коэффициент асимметрии Пирсона:

Если значение < 0, то асимметрия является левосторонней (скошенность влево). При =0 распределение является симметричным ( = Me = Мо). Если > 0, то наблюдается правосторонняя асимметрия (скошенность вправо). При этом для правосторонней асимметрии выполняется неравенство > Me > Mo, а длялевосторонней - < Me < Mo.

Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень асимметрии. Принято считать, что если , то асимметрия незначительна. Если , то асимметрия значительная.

Графическое изображение асимметрии распределения представ­лено на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Асимметрия распределения

Для выявления асимметрии используют несколь­ко показателей. Наиболее надежным считается нормированный коэффициент асимметрии третьего поряд­ка, основанный на вычислении момента третьего по­рядка:

где: - центральный момент третьего порядка.

Он не зависит от масштаба, выбранного при измерении варианта, так как является отвлеченной величиной.

Чтобы можно было сравнивать асимметричность в разных рядах, сопоставляют со средним квадратическим отклонением в кубе.

На направление асимметрии указывает знак коэффициента:

§ < 0 - в ряду распределения преобладают варианты, которые меньше, чем средняя, т.е. ряд отрицательно асимметри­чен (левосторонняя скошенность - более длинная ветвь влево);

§ > 0 - для ряда распределения характерна поло­жительная асимметрия (правосторонняя скошенность - более длинная ветвь вправо);

§ = 0 - симметричное распределение, так как варианты равноудалены от и имеют одинаковую часто­ту, поэтому = 0.

Оценка степени существенности асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки , которая зависит от объема наблюдений n и рассчитывается по формуле:

=

Если то асимметрия существенна и распределение признака в совокупности не является симметричным.

Если то асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных факторов.