Вывод расчетной формулы

Удельное сопротивление провода в данной лабораторной работе определяют путем косвенного измерения. Для этого используется наиболее простой технический метод − точного измерения тока и напряжения.

На рис.1а, б представлены схемы точного измерения тока и напряжения на сопротивлении, соответственно.

а) б)

Рис. 1

Схема 1, а позволяет точно измерить силу тока, протекающего через изучаемый провод, т. к. миллиамперметр включен последовательно с введенной частью изучаемого провода. Вольтметр при этом измеряет падение напряжения сразу на двух сопротивлениях: на внутреннем сопротивлении миллиамперметра и на изучаемом проводе.

В схеме 1, б миллиамперметр измеряет суммарный ток через параллельно включенные вольтметр и изучаемый провод. При этом вольтметр измеряет падение напряжения на введенной части провода, поэтому схема называется схемой точного измерения падения напряжения.

Введем обозначения активных сопротивлений элементов цепи:

–внутреннее сопротивление миллиамперметра, Ом;

–внутреннее сопротивление вольтметра, Ом;

– сопротивление введенной в цепь изучаемой части провода, Ом. Через и обозначим показания вольтметра и миллиамперметра соответственно.

Согласно выражению (3), сопротивление проводника, у которого по всей длине не нарушается однородность физических свойств при постоянстве сечения, растет пропорционально его длине. Проверка неизменности сечения провода может быть осуществлена проведением нескольких измерений диаметра провода на различных его участках.

Ряд предварительных косвенных измерений электрического сопротивления различных по длине введенных частей исследуемого проводника позволяет оценить пропорциональность изменения от . Это может служить достаточным основанием применения выражения (3) для расчета удельного электрического сопротивления провода. Результаты измерений электрического сопротивления и линейных размеров провода следует подставлять в преобразованное выражение:

(5)

где – длина введенной части провода, м; – диаметр изучаемого провода, м. Для каждого измерения устанавливается своя длина введенной части провода. Сопротивление введенной части провода можно получить путем косвенного измерения, используя закон Ома в интегральной форме для однородного участка цепи (см. формулу (4)).

В случае использования в измерениях схемы, представленной на рис. 1, а, можно записать:

(6)

Отсюда после простых алгебраических преобразований получим:

(7)

Далее, используя формулу (5), можно рассчитать удельное сопротивление провода:

(8)

Если для определения удельного сопротивления провода воспользоваться схемой точного измерения напряжения (рис. 1, б), то показания миллиамперметра будут соответствовать суммарной силе тока, протекающего по параллельно соединенным вольтметру и введенной части провода. При этом

(9)

где − силы токов, протекающих по вольтметру и изучаемой части провода соответственно.

Используя закон Ома для однородного участка цепи в интегральной форме, выражение (9) можно переписать в виде:

(10)

После алгебраических преобразований формулы (10) получим:

(11)

На основании формул (5) и (11) удельное сопротивление исследуемого провода

(12)

После проведения расчетов удельного сопротивления необходимо оценить погрешность полученных значений искомой физической величины. Для этого следует определить приборную и случайную погрешность результатов косвенного измерения удельного сопротивления и в качестве погрешности выбрать максимальную из них:

(13)

Приборную погрешность удельного сопротивления для каждого из двух способов можно рассчитать один раз, выбрав измерение с максимальными относительными погрешностями результатов измерений: длины изучаемой части провода, напряжения и силы тока. При этом следует иметь в виду, что абсолютная погрешность измерения длины провода составляет что определяется размером подвижного контакта. Приборная погрешность измерений напряжения и силы тока в изучаемом проводе может быть получена из известного класса точности миллиамперметра и вольтметра из следующих формул:

(14)

(15)

Отсюда после преобразований получим:

(16)

(17)

В используемых лабораторных установках классы точности вольтметра и миллиамперметра одинаковы:

Считая погрешность значения поперечного сечения исследуемого провода и внутренних сопротивлений измерительных приборов пренебрежимо малыми, приборную погрешность удельного сопротивления провода следует определять в два этапа: 1) рассчитать приборную погрешность результата косвенного измерения сопротивления введенной части провода; 2) оценить абсолютную погрешность удельного сопротивления.

Для схемы 1, а определяется по формуле

(18)

для схемы 1б:

(19)

. (20)

Предполагая, что полученные значения удельного сопротивления провода для различных длин, введенных в цепь его частей, распределены по нормальному закону (по закону Гаусса [3]), случайная погрешность измерения удельного сопротивления провода определяется как утроенное среднее квадратичное отклонение среднего значения («правило 3 σ», см. работу [3]). На основании результатов косвенных измерений удельного сопротивления (при этом доверительная вероятность ~ 0, 96 для n = 5):

(21)

где n − число косвенных измерений удельного сопротивления провода; – i _{− ое} косвенное измерение удельного сопротивления; – среднее арифметическое результатов косвенных измерений удельного сопротивления.