Уравнение синус-Гордона

Следующий этап получения фундаментальных результатов в исследовании проблем, связанных с псевдосферическими поверхностями и составляющих каноническую основу современного нелинейного анализа, приходится на конец 80-х годов XIX столетия. В то время было открыто преобразование Бэклунда и впервые установлена взаимосвязь внутригеометрических характеристик псевдосферических поверхностей с важными нелинейными дифференциальными уравнениями.

Концептуальное значение в данном вопросе сыграла работа выдающегося русского ученого П.Л. Чебышёва “О кройке одежды”, в которой он исследовал вопрос о специальных сетях линий (тканях) на поверхностях. Изученные в работе сети, называемые теперь чебышёвскими, характеризуются следующим свойством: в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны являются равными. К примеру, нити куска обычной нерастяжимой ткани, натянутой (наложенной) на поверхность, образуют на ней чебышёвскую сеть. Из определения чебышёвской сети нетрудно получить выражение для квадрата линейного элемента покрываемой ею поверхности:

. (14)

Из (14) с использованием формулы (7) для гауссовой кривизны вытекает, что при функция , имеющая смысл сетевого угла, должна удовлетворять уравнению

, (15)

впоследствии получившему название уравнения синус-Гордона. (Несколько более общий вид уравнения (15) при произвольном K был получен практически одновременно и независимо в 1878 г. П.Л. Чебышёвым и И.Н. Хаццидакисом.)

Уравнение синус-Гордона, играющее фундаментальную роль в современном естествознании, является центральным в алгоритме построения новых псевдосферических поверхностей, предложенном Бэклундом. Переходя к изложению связанных с этим идей, подчеркнем, что преобразование Бэклунда, широко используемое в настоящее время в теории нелинейных уравнений, исторически впервые возникло в 1876 г. именно в дифференциальной геометрии как преобразование псевдосферических поверхностей.

Геометрическое содержание преобразования Бэклунда состоит в следующем.

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве имеется некоторая псевдосферическая поверхность с радиусом-вектором . Тогда по этой поверхности всегда можно построить новую псевдосферическую поверхность с радиусом-вектором по формуле

. (16)

В соотношении (16) , – единичные касательные векторы к линиям кривизны на поверхности (линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным направлением, то есть направлением, в котором нормальная кривизна поверхности достигает экстремального значения); – некоторые числовые параметры. Участвующая в правой части (16) функция имеет смысл сетевого угла чебышёвской сети на новой поверхности и удовлетворяет уравнению синус-Гордона (15). Решение связано с решением , имеющим аналогичный смысл по отношению к уже известной поверхности , посредством системы:

(17)

называемой преобразованием Бэклунда для решений уравнения синус-Гордона. Система уравнений в частных производных (17) до сих пор не разрешена в общем виде, для нее известна единственная рекуррентным образом определяемая серия решений

(18)

;

задающая класс так называемых многосолитонных решений и соответствующее им бесконечное число псевдосферических поверхностей. (В физике под солитонами понимают уединенные волны, распространяющиеся с постоянной скоростью и имеющие неизменный профиль. Для таких волн свойствен особый характер взаимодействия, единственным результатом которого является сдвиг фаз взаимодействующих волн (см. также: Маневич Л.И. Линейная и нелинейная математическая физика: от гармонических волн к солитонам // Соросовский Образовательный Журнал. 1996. № 1. С. 86–93).)

Формулы (17), (18) составляют к настоящему времени основу для построения фактически неизученной солитонной серии псевдосферических поверхностей (или солитонных псевдосферических поверхностей) и могут быть выбраны интересующимися читателями в качестве исходной базы для самостоятельных исследований по геометрии поверхностей.