Критерий серий

Серией называется последовательность однотипных наблюдений, перед и после которой следуют наблюдения противоположного типа.

Примеры: а) бросание монеты: «орел» - «+»; «решка» -«-»

б) последовательность измерений x(t)=x_i; i=1, 2, …N со средним значением : x_i ≥ («+»); x_i < («-»).

в) последовательность одновременных измерений x_i и y_i (i=1, 2, …, N):

x_i ≥ y_i (+); x_i < y_i (-).

Число серий появившихся в последовательности наблюдений, позволяет выяснить, являются ли отдельные результаты независимыми наблюдениями одной и той же случайной величины. Если это так, то выборочное распределение числа серий в последовательности является случайной величиной r со средним значением и дисперсией:

μ _r= +1;

σ ²_r= ,

где N₁ и N₂ – число исходов (+) и (-), N – общее число исходов.

Для практического применения числа серий используют специальные таблицы (см., например, табл.А6 [Бендат]. Для проверки гипотезы с любым требуемым уровнем значимости α надо сравнить наблюдаемое число серий с границами области принятия гипотезы, равными r_n; 1-α /2 и r_n; α /2, где n=N/2. Если число серий окажется вне этой области, то гипотеза должна быть отвергнута с уровнем значимости α.

Пример: имеется последовательность N=20 наблюдений некоторой случайной величины 1) 5, 5; 2)5, 1; 3)5, 7; 4)5, 2; 5)4, 8;

6)5, 7; 7)5, 0; 8)6, 5; 9)5, 4; 10)5, 8;

11)6, 8; 12)6, 6; 13)4, 9; 14)5, 4; 15)5, 9;

16)5, 4; 17)6, 8; 18)5, 8; 19)6, 9; 20)5, 5.

Проверим независимость наблюдений, подсчитав число серий в последовательности полученной путем сравнения наблюдений с медианой (числом, правее и левее которого лежит равное число наблюдений) исходной последовательности. х_м=5, 6. Наблюдения х_i ≥ x_м (+) x_i < x_м (-). В результате получаем: - - + -- + - + - +++ -- + - +++ -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

13 серий в 20 наблюдениях.

Область принятия гипотезы независимости наблюдений имеет вид

[r₁₀; 1-α /2 < r ≤ r₁₀; α /2] зададим α =0, 05 и из табл. А6 [ ] находим r₁₀; 1-α /2=r₁₀; 0, 975=6; r=10; α /2=r₁₀; 0, 025=15. Гипотеза принимается, т.к. 6 < 13 < 15. Следовательно, оснований для того, чтобы утверждать о присутствии тренда в реализации, нет.