Преобразование Карунена-Лоєва

Раскладка в ряд Карунена-Лоєва сигнала х (t), заданного в ин­тервале времени от - Т/2 к T /2, такого, что имеет конечную энергию Ех, изображается таким образом:

где

-система значений k(t) изображает ортогональный базис Кару­нена—Лоєва. Отсчеты lk, которые являются коэффициентами ряда, имеют дисперсию s²_k и образовывают энергетический ряд

На этой основе построено и дискретное преобразование Кару­нена— Лоєва, которое как и другие используется для обработки изображений. Уменьшение чрезмерной информации при обра­ботке изображений является одной из основных операций.

Для дискретного сигнала из N отсчетов при его обработке с це­лью сжатия данных выбирается подмножество с М отсчетов при М, что значительно меньшее N, а остаток отбрасывается. Делается это таким образом, во избежание значительной по­грешности при восстановлении сигнала.

Для оценки значения погрешности вводится критерий оценки — чаще используется критерий среднеквадратичной ошибки. Ортогональным дискретным преобразованием, которое явля­ется оптимальным, если иметь в виду среднеквадратичный кри­терий, и служит преобразование Карунена— Лоєва.

Недостаток этого преобразования состоит в том, что для него не существуют алгоритмов быстрых преобразований. Поэтому преимущество часто отдается преобразованиям Уолша, Хаара и др.