Взаимные корреляционные функции

Непрерывные ВКФПоследовательность данных x_n и y_n можнополучить как выборку зависимых от времени функций x(t) и y(t), т.е х(nT_a) =x_n и y(nT_a) =y_n C помощью ковариантности и коэфициента кореляции можно проверить кореляцию значений, выборки которых были сделаны в одно время. Дальше можно проверить, возможна ли зависимость между существующим и преведущим сигналом. Согласнос этим вычисляеться ковариантность из выборки, сделаной в точке времени nT_a , в точке времени (n-к)T_a преведущего сигнала.Для каждого значения кT_a (к=1, 2…) обоих сигналов при некоторых обстоятельствах возникают новыезначения ковариантности, а отсюда и функция, зависимая от времени задержки кT_a Она имеет собственное название: взаимно кореляционная функция. Сигналов х и у.

Пусть даны средние значения х и у ф-ций X(t), Y(t):

Дисперсия определяется как

Ковариантность между сигналами X(t), Y(t) вычисляется как

При знакопеременных величинах линейные средние значения = 0 и остаются только

для получения корреляционных ф-ций необходимо задержать оба зависимых то времени сигнала на t. Для сигналов без постоянной составляющей взаимокорреляционная функция вычисляется как

Дискретные взаимокорреляционные функции.:

Корреляционный анализ используется для определения статических связей между случайными процессами, либо статических связей между фазами одного и того же случайного процесса. Существует 2 типа кореляционных ф-ций: взаимокорреляционные ф-ции, автокорреляционные ф-ции. Взаимокорреляционная ф-ция характеризует связь между двумя случайными процессами или последовательностями:

Для дискретной ф-ции промежуток t движется на шаг дискретизации по оси t, полученные в каждой точке дискрет-ции значен. x(t) и y(t-t) перемножаются, произведения суммируются и делятся на 2T

34. Кореляционный анализ. Ковариантность. Коэфициент кореляции.

Корреляционный анализ.Ковариантность:

КА используется для определения статистических связей между случайными процессами либо статистических связей между фазами одного и того же случайного процесса. В последнем случае анализ называется ортокорреляционным. КА применяется для детерминированных и стохастичных сигналов.

Ковариантность. Пусть мы имеем две случайные последовательности Xn и Yn. Случайная последовательность может характеризоваться различным уровнем случайности, т.е. соседние отсчеты могут быть совершенно не зависимы или могут иметь определенную степень зависимости. Предположим что мы знаем средние значения Xср и Yср:

Мера и связи для обоих последовательностей Xn и Yn является ковариантность sxy:

Если случайные последовательности Xn и Yn центрированы (вычтено среднее), то:

Коэффициент корреляции:

Коеф. корел. r - это нормированная ковариантность, причем

-1 £ r £ 1. Нормирование происходит за счет деления ковариантности на произведение стандартных отклонений sх и sу:

Связь между последовательностями данных Xn и Yn, а также значения коэффициента корреляции можно проиллюстрировать, если изобразить соответствующие пары значений (Xn и Yn), в координатной системе X/Y. Если обе последовательности данных расположены в одном направлении, то они ковариантны и коэффициент корреляции будет положительным, если в противоположных - то отрицательным. Если коэф. коррел. = 0 то между величинами зависимость отсутствует. Абсолютная величина коэффициента корреляции будет тем ближе к 1, чем больше обе переменные зависят одна от другой.

2. Аппроксимация. Аппр-ция линейным полиномом.

Интерполяция – кривая проходит через все точки.

Аппроксимация – кривая может вообще не проходить через точки.

(1/N)å |Dy_i| где i=1, N.

Полученная сумма не зависит от N. Поленом высокой степени не аппроксимируется, поэтому ограничиваются полиномом 3-го порядка.

Если на десяток точек попадается точка А, к-рая сильно отклоняется, то можно ее исключить.

Существуют два метода:

1) сумма абсолютных разниц |f(x_n)-y_n| должна приближаться к минимуму.

2) сумма квадратов разницы должна приближаться к минимуму Этот метод наименьших вкадратов

максимальная разница между сглаживающей кривой и измеряемой величиной должна оставаться в пределах D. ax|f(x)-y_n|≤ D.

Рассмотрим случай когда аппроксимирующей кривой явл. линейная зависимость:

Найдем коэф. a и b при к-рых S=min: