Дискретное преобразование Фурье. Ф-ии окна.

Преобразование Фурье позволяет вычислять спектр по временной функции абсолютно точно, если временная ф-ия задана на бесконечном интервале. На практике выборка значений является всегда ограниченной. Ограничение по выборке во временной области приводит к тому, что в спектральной области появляются флуктуации (это явление назыв. явлением Гибсса). Для того чтобы в какой-то степени подавить эти колебания используются весовые функции, которые получили название окна. Эта ф-ия записывается в качестве множителя в преобразование Фурье. Таким образом выборку во временной области можно ограничить не только прямоугольным окном, которое дает значительные флуктуации в спектре, но и с помощью окон других форм, которые дают меньший уровень флуктуации спектра. В настоящее время есть большое количество исследованных и предложенных к применению весовых ф-ий. Выбор того или иного окна при спектральном преобразовании является достаточно сложной задачей и зависит от характера временной ф-ии или выборки дискретных значений, которую мы преобразовываем в спектр.

Критерии оценки окон. 1) А=отношение амплитуды наибольшего из боковых лепестков к амплитуде основного лепестка. Если главный лепесток нормирован, т.е. его амплитуда равна 1, то А=а, где а- амплитуда наибольшего бокового лепестка. 2) В- максимальная ошибка дискретизации. В=(амп. ДПФ окна при w=Dw/2)/(амп. ДПФ окна при w=0), где Dw- ширина основного лепестка. 3) ширина основного лепестка. Определяется частота w_c, при которой падение амплитуды спектра составляет 3дБ.

Идеальный вариант – узкий основной лепесток окна и не значительные по уровню боковые лепестки.

В ДПФ вместо интегралов используются суммы.

T=NT_a, отсчеты – эквидистантны, т.е. T_a=const. T – весь интервал измерения; n, t – текущие координаты. f(t)®f(nT_a); Þ e^iwt=e^iwnTa;

Sin и cos в ДПФ являются периодичными, поэтому полученные спектры сигнала будут повторяться.

Если неправильно выбрать частоту дискретизации, то спектры будут накладываться друг на друга, искажая истинный спектр.

Для того чтобы избежать этого необходимо знать максимальную частоту сигнала. Для практического применения достаточно ограничить амплитуду сигнала на уровне 0.1-1% при определении граничной частоты

Спектры ДПФ, которые повторяются не будут перекрываться, если максимальная частота сигналов не > 1/2 частоты дискретизации: f_max< 1/2Fg=1/(2Ta); w_max< p/Ta/