III. Диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики

1. Теорема існування та єдиності для диференціального рівняння 1-го порядку, яке розв’язане відносно похідної.

2. Метод ізоклін.

3. Метод відокремлення змінних. Виділення особливих розв’язків.

4. Лінійне неоднорідне рівняння першого порядку. Метод варіації сталої.

5. Особливі точці рівняння першого порядку.

6. Рівняння Клеро, Лагранжа. Особливі розв’язки.

7. Основні теореми про розв’язки лінійного диференціального рівняння n-го порядку.

8. Фундаментальна система розв’язків лінійного однорідного рівняння. Визначник Вронського.

9. Лінійне неоднорідне рівняння n-го порядку. Метод варіації сталих.

10. Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера.

11. Диференціальні рівняння вищих порядків. Зниження порядку диференціального рівняння.

12. Системи диференціальних рівнянь в нормальній формі. Задача Коші. Перші та загальні інтеграли.

13. Особливі точці автономних систем диференціальних рівнянь другого порядку.

14. Означення стійкості окремого розв’язку диференціального рівняння за Ляпуновим.

15. Теорема Ляпунова про стійкість за першим наближенням.

16. Каноничні види лінійних рівняннь в частинних похідних другого порядку від двох незалежних змінних.

17. Задача Коші для рівняння теплопроводності в шарі , розв’язання за методом інтегрального перетворення Фурьє.

18. Принцип максимуму для оператора теплопровідності в шарі та просторово-часовому циліндрі .

19. Крайова задача з межовими умовами Діріхле для рівняння теплопровідності в стрижні скінченої довжини; розв’язання за методом розділення змінних.

20. Задача Коші для рівняння коливань струни в смузі ; розв’язання за методом характеристик та інтегрального перетворення Фурьє.

21. Задача Коші для хвильового рівняння в шарі ; розв’язання за методом сферичних середніх Кірхгофа.

22. Задача Коші для хвильового рівняння в шарі ; розв’язання за методом спуску Адамара, інтегральна формула Пуассона.

23. Інтеграл енергії для рівняння коливань струни в смузі , коректність задачі Коші в смузі .

24. Крайова задача з межовими умовами Діріхле для рівняння коливань струни; розв’язання за методом розділення змінних.

25. Постановки крайових задач Діріхле, Неймана та Робена для рівняння Лапласа в скінче­ній області в ; принцип максимуму для рівняння Лапласа.

26. Формула Гаусса – Остроградського, перша та друга допоміжні формули Гріна, основна формула Гріна в скінченій області в ; умова розв’язності задачі Неймана.

27. Теореми про середні значення гармонічної функції в кулі та на сфері в , про нескінчену диференційовність гармонічної функції в скінченій області в .

28. Крайова задача з межовими умовами Діріхле для рівняння Лапласа в колі; розв’язання за методом розділення змінних.

29. Крайова задача з межовими умовами Діріхле для рівняння Лапласа в кільці; розв’язання за методом розділення змінних.

30. Зовнішня крайова задача з межовими умовами Діріхле для рівняння Лапласа в колі; розв’язання за перетворенням інверсії Кельвіна.