Главные площадки и главные напряжения.

Тема 4 (продолжение)

Кубическое уравнение и его инварианты.

Перейдем к определению главных напряжений по заданным шести компонентам тензора напряжений. Для этого, как и ранее, рассмотрим равновесие элементарного тетраэдра (рис. 4.4), полагая заранее, что грань АВС представляет собой главную площадку. При этом, естественно, значения направляющих косинусов l, m, неизвестны.

Рис. 4.4.

В рассматриваемом случае вектор полного напряжения р, совпадающий с вектором главного напряжения - σ _гл, направлен по нормали ν. Следовательно, составляющие p _x, p _y и p _z будут равны

Подставив их в уравнение (4.13), получим после приведения подобных членов (относительно l, m, и n) следующую систему уравнений

Мы получили систему однородных уравнений. Все направляющие косинусы не могут быть одновременно равны нулю, так как

Поэтому нетривиальное решение системы будет заключаться в равенстве нулю определителя, составлено из коэффициентов при l, m, и n:

Раскрыв определитель и расположив его члены по степеням σ _гл, получим следующее к у б и ч е с к о е у р а в н е н и е:

где

Главные напряжения, представляющие собой корни кубического уравнения σ ´, σ ´ ´ и σ ´ ´ ´, не зависят от выбора осей x, y и z. Следовательно, при повороте системы координат коэффициенты уравнения (4.18) должны оставаться неизменными. Поэтому эти коэффициенты называются и н в а р и а н т а м и к у б и ч е с к о г о у р а в н е н и я или, что то же самое, и н в а р и а н т а м и н а п р я ж е н н о г о с о с т о я н и я.

Отметим, что одно из трех главных напряжений σ ₁ имеет максимальное (с учетом знака) значение, а другое σ ₃ - минимальное из всех возможных нормальных напряжений в данной точке. Главные напряжения обычно записываются в упорядоченном виде

Тензор напряжений, записанный в главных осях, выглядит так