Методические указания.

Целью работы является применение контурных токов в комплексной форме для расчета несимметричных трехфазных цепей, которые широко применяются в различных электроэнергетических сетях и системах.

Несимметричную трехфазную цепь со статическими нагрузками можно рассматривать как сложную цепь с несколькими источниками ЭДС и рассчитать использую общие методы расчета электрических цепей в комплексной форме. Расчет целесообразно выполнять по методу контурных токов, так как при этом методе не требуется преобразование схемы.

По заданной схеме обязательно построить граф и пронумеровать его ветви, причем ветвям с источниками присвоить либо первые, либо последние номера. На графе выделить ветви дерева и указать узлы (точки) A, B, C, а также O, O₁.

Задать одинаковое направление ветвей с источниками э.д.с. , , относительно общей точки источников O. Для ветвей с пассивными элементами – комплексными сопротивлениями целесообразно указать «естественные» направления напряжений (токов) от точек A, B, C к общей точке приемников O₁. Некоторые ветви с сопротивлениями могут быть включены на линейные напряжения , , .

Для расчета необходимо составить матрицы .

Матрица составляется по тем же правилам, что и для цепей постоянного тока.

Матрица - диагональная и каждый ее ненулевой элемент – это комплексное сопротивление . Значения этих сопротивлений заданы в таблице. Для расчета на ЭВМ матрица записывается в виде

,

где индекс «в» - номер последней ветви.

Если ветвям с источниками , , присвоены первые номера 1, 2, 3, то первые три элемента в матрице - нулевые.

Столбцовая матрица записывается в следующем виде (с учетом того, что ветвям с источниками ЭДС присвоены первые номера):

где - заданное фазное напряжение, знак «.’» означает транспонирование (не следует путать со знаком «’», который переводит комплексные числа в им сопряженные). Первый элемент матрицы соответствует ЭДС фазы А, второй элемент матрицы соответствует ЭДС фазы В, отстающей от ЭДС фазы А на угол , третий элемент матрицы соответствует ЭДС фазы С, опережающей ЭДС фазы А на .

В данных схемах нет источников тока, поэтому столбцовая матрица имеет только нулевые элементы и кратко записывается так

Для расчета схемы на ЭВМ необходимо применить программный комплекс «MATLAB» и в нем использовать сценарий «cepye», разработанный на кафедре Эт Эн.

Ввести четыре указанные матрицы в ЭВМ, провести расчет токов, напряжений и мощностей. Сделать распечатку результатов расчетов и по этой распечатке построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

Векторная диаграмма токов является геометрическим представлением первого закона Кирхгофа в комплексной форме для любого узла схемы:

где к – количество ветвей, присоединенных к данному узлу схемы.

Топографическая диаграмма напряжений – это геометрическое представление второго закона Кирхгофа для любого замкнутого контура схемы:

где n – количество ветвей с активными и пассивными элементами в данном замкнутом контуре.

Рассмотрим пример подобного расчета. Дана схема несимметричной трехфазной цепи с источниками фазных ЭДС, которые на комплексной плоскости образуют симметричную трёхлучевую звезду.

Этой схеме соответствует следующий граф:

Все ЭДС и напряжения будем задавать в вольтах, токи – в амперах, сопротивления – в омах, комплексные мощности – в вольт-амперах.

Составим матрицу В, учитывая, что направление обхода контура совпадает с направлением ветви связи данного контура

[В] = I 1 -1 0 1 0 0 0 0 0

II 0 -1 1 0 0 -1 1 1 0

III 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0

IV 0 0 0 0 -1 0 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Используем программу MATLAB:

> > cepye

Топологическаq матрица B

TM=[1 -1 0 1 0 0 0 0 0; 0 -1 1 0 0 -1 1 1 0; 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0; 0 0 0 0 -1 0 1 1 1]

сопротивлениq ветвей

PV=diag([0 0 0 40-60i 60-70i 0 50-70i 55+75i 45+65i])

ЭДС ветвей

SV=660*[1 exp(-2*i*pi/3) exp(2*i*pi/3) 0 0 0 0 0 0].'

источники тока ветвей

CV=zeros(9, 1)

Матрица контурных сопротивлений PM=

1.0e+002 *

0.4000 - 0.6000i 0 -0.4000 + 0.6000i 0

0 1.0500 + 0.0500i 0 1.0500 + 0.0500i

-0.4000 + 0.6000i 0 1.0000 - 1.3000i -0.6000 + 0.7000i

0 1.0500 + 0.0500i -0.6000 + 0.7000i 2.1000

Матрица контурных ЭДС AM=

1.0e+003 *

0.9900 + 0.5716i

0 + 1.1432i

0

0

Матрица контурных токов X=

4.4850 +13.5961i

-0.6663 +25.2739i

3.4647 - 2.2238i

1.1836 -14.4114i

Токи ветвей XS=

4.4850 +13.5961i

-3.8187 -38.8700i

-0.6663 +25.2739i

1.0203 +15.8198i

2.2811 +12.1876i

-2.7984 -23.0501i

0.5173 +10.8625i

0.5173 +10.8625i

1.1836 -14.4114i

Напряжения ветвей XC=

1.0e+002 *

-6.6000

3.3000 + 5.7158i

3.3000 - 5.7158i

9.9000 + 5.7158i

9.9000 + 5.7158i

0

7.8624 + 5.0692i

-7.8624 + 6.3623i

9.9000 - 5.7158i

Токи пассивных участков ветвей XSP=

4.4850 +13.5961i

-3.8187 -38.8700i

-0.6663 +25.2739i

1.0203 +15.8198i

2.2811 +12.1876i

-2.7984 -23.0501i

0.5173 +10.8625i

0.5173 +10.8625i

1.1836 -14.4114i

Напряжения пассивных участков ветвей XCP=

1.0e+002 *

0

0

0

9.9000 + 5.7158i

9.9000 + 5.7158i

0

7.8624 + 5.0692i

-7.8624 + 6.3623i

9.9000 - 5.7158i

Мощности ветвей S=

1.0e+004 *

-0.2960 + 0.8973i

-2.3477 + 1.0644i

-1.4666 - 0.7960i

1.0052 - 1.5078i

0.9224 - 1.0762i

0

0.5913 - 0.8278i

0.6504 + 0.8870i

0.9409 + 1.3591i

Мощности пассивных участков ветвей SPU=

1.0e+004 *

0

0

0

1.0052 - 1.5078i

0.9224 - 1.0762i

0

0.5913 - 0.8278i

0.6504 + 0.8870i

0.9409 + 1.3591i

Мощности источников ветвей SI=

1.0e+004 *

0.2960 - 0.8973i

2.3477 - 1.0644i

1.4666 + 0.7960i

0

0

0

0

0

0

> > sum([SPU SI])

ans =

1.0e+004 *

4.1103 - 1.1658i 4.1103 - 1.1658i

Уравнение баланса комплексных мощностей имеет вид:

Как видно из распечатки, это условие выполняется точно. Суммарная активная мощность источников и приёмников составила 41103 Вт, а реактивная – 11658 ВАр.

Построим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений, используя два пункта из расчета в MATLAB: напряжения ветвей и токи ветвей.

В программном комплексе MatLab существует специальный сценарий для построения векторных диаграмм - vdiagr 1.

Оператор вводится по следующему правилу:

vdiagr1(n, a) для каждого узла, где:

n - номер фигуры, которая соответствует полной топографической диаграмме напряжений (n = 1), или векторной диаграмме токов (n = 2); а - массив комплексных чисел: первое значение - от какой точки на комплексной плоскости начинать диаграмму; остальные значения - откладываемые комплексные числа; каждый последующий отрезок откладывается от конца предыдущего.

Построим топографическую диаграмму напряжений по закону Кирхгофа для напряжений, введя следующие команды после завершения основного расчета в MATLAB:

> > vdiagr1(1, [0 XC(1) XC(4) -XC(2)], 'linewidth', 2, 'edgecolor', 'flat') - контур I

> > vdiagr1(1, [0 XC(3) XC(7) XC(8) -XC(6) -XC(2)], 'linewidth', 2, 'edgecolor', 'flat') - контур II

> > vdiagr1(1, [XC(1) XC(5) -XC(6) -XC(4)], 'linewidth', 2, 'edgecolor', 'flat') - контур III

> > vdiagr1(1, [XC(1) XC(9) XC(7) XC(8) -XC(5)], 'linewidth', 2, 'edgecolor', 'flat') - контур IV

Команду vdiagrl(1, a) необходимо ввести (в - у + 1) раз; в- число ветвей схемы, у- число узлов схемы.

Чтобы построить векторную диаграмму токов необходимо ввести следующую последовательность команд в соответствии с законом Кирхгофа для токов:

> > vdiagr1(2, [0 -XS(1) XS(4) XS(5) XS(9)], 'linewidth', 2, 'edgecolor', 'flat') - узел А

> > vdiagr1(2, [0 - XS(2) - XS(4) XS(6)], 'linewidth', 2, 'edgecolor', 'flat') - узел В

> > vdiagr1(2, [0 XS(1) XS(2) XS(3)], 'linewidth', 2, 'edgecolor', 'flat') - узел O

> > vdiagr1(2, [0 -XS(5) -XS(6) -XS(8)], 'linewidth', 2, 'edgecolor', 'flat') - узел O₁

Команду vdiagr1(2, a) необходимо ввести (у - 1) раз. Также учтём, что - это позволяет нам не записывать команду для узла D.

Литература.

1. Теоретические основы электротехники. Том 1. Под редакцией П.А. Ионкина. Москва, 1976г.