Определение. Если множество равномощно множеству всех действительных чисел интервала (0,1), то говорят, что оно имеет мощность континуума.

Если множество равномощно множеству всех действительных чисел интервала (0, 1), то говорят, что оно имеет мощность континуума.

Задача

Множество всех действительных чисел интервала [0, 1] равномощно множеству всех действительных чисел интервала (0, 1) числовой оси.

Доказательство

Пусть S={s₁, s₂, s₃, s₄,...} – счетное подмножество множества всех действительных чисел интервала (0, 1).

Введем новое подмножество .

Между этими двумя множествами легко установить взаимнооднозначное соответствие: s₁ 0, s₂, 1, s₃ s₁…

Если мы вычтем S из множества всех действительных чисел интервала (0, 1), а S’ из множества всех действительных чисел интервала [0, 1], то получим два равных множества. Следовательно, исходные множества имеют одинаковую мощность.

Пример

Множеств, имеющих мощность континуума:

1.Множество точек любого отрезка [a, b]

2.Множество точек на прямой.

3.Множество точек плоскости, пространства.

4.Множество иррациональных чисел.

[a, b] ~ [0, 1],

что легко проверить, установив биекцию по формуле y = a+(b-a)x, где x [0, 1].