Завдання_25 додаток_1

Основоположником першого напрямку став німецький математик і логік Г. Фреге (1848 – 1925). Він прагнув усю математику обґрунтувати через логіку, застосувавши апарат математичної логіки для обґрунтування арифметики, побудувавши першу формальну логічну систему, що включала в себе значну частину арифметики. Крім того, ним і незалежно від нього Ч. Пірсом були введені в мову алгебри логіки предметні змінні, предикати і квантори, що дало можливість застосувати цю мову до питань основ математики. Задачу аксіоматичної побудови арифметики, геометрії і математичного аналізу ставив перед собою італійський математик Дж. Пеано (1858 – 1932). Зведення чистої математики до логіки продовжили у своїй тритомній праці «Підстави математики» (1910 – 1913) англійські математики Б. Рассел (1872 – 1970) і А. Уайтхед (1861 – 1947). Хоча даний напрямок і не увінчався повним успіхом (зокрема, виявилося неможливим вивести з сугубо логічних аксіом існування нескінченної множини), але був створений багатий логічний апарат, без якого математична логіка не змогла б сформуватися як повноцінна математична дисципліна.

Німецький математик Д. Гільберт (1862 – 1943) запропонував інший шлях подолання труднощів у основах математики, шлях, що містить у собі застосування аксіоматичного методу: записати всі математичні твердження у вигляді логічних формул, деякі з них виділити як аксіоми, а інші логічно вивести з виділених. Відкриття австрійським логіком К. Геделем (1906 – 1978) у 1930 – 1931 роки неповноти формалізованої арифметики показало обмеженість гільбертовської програми обґрунтування математики. Проте, роботи Гільберта і його послідовників призвели до глибокої розробки аксіоматичного методу й остаточного усвідомлення його фундаментальної ролі в математиці.

Представники напрямку, який засновано голландським математиком Л. Брауером (1881 – 1966) на початку XX століття, запропонували відмовитися від розгляду нескінченних проміжків як завершених сукупностей, а також від логічного закону виключеного третього. Ними визнавалися тільки такі математичні доведення, що конструктивно будували той чи інший об'єкт, і заперечували чисті доведення існування. Вони побудували специфічну математику, що має цікаві особливості, ще раз підкреслили розходження між конструктивним і неконструктивним у математиці.

XX століття надало бурхливого розвитку математичної логіки, формуванню численних нових її розділів. Були побудовані різні аксіоматичні теорії множин, проведено формалізацію поняття алгоритму, а сама теорія алгоритмів була так розвинена, що її методи стали проникати в інші розділи математичної логіки, а також в інші математичні дисципліни. Так, на стику математичної логіки й алгебри виникла теорія моделей. Були створені численні нові некласичні логічні системи. Крім того, у XX столітті почалося глибоке проникнення ідей і методів математичної логіки в техніку (і, насамперед, у конструювання і створення ЕОМ), кібернетику, обчислювальну математику, структурну лінгвістику.