Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Дифференциал первого и второго порядка ФНП.

Занятие 11. Частные производные 1-го порядка. Частные производные высших порядков.

Дифференциал первого и второго порядка ФНП.

Частные производные. Пусть (x 1,..., хk,..., xn) − произвольная фиксированная точка из области определения функции u = f (x 1,..., хn). Придавая значению переменной хk (k = 1, 2,..., п)приращение рассмотрим предел

Этот предел называется частной производной (1-го порядка)данной функции по переменной xk в точке (x 1,..., хk,..., xn) и обозначается или .

Частые производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме хk, рассматриваются как постоянные).

Частными производными 2-го порядка функции u = f (x 1,..., хn) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом:

и т. д. Аналогично определяются и обозначаются частные производные Порядка выше второго. Результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от очередности дифференцирования при условии, что возникающие при этом «смешанные» частные производные непрерывны.

Дифференциал функции и его применение. Полным приращением функции u = f (x 1,..., хn)в точке P (x 1,..., хn). соответствующим приращениям аргументов , ,..., называется разность

Функция и = f (Р)называется дифференцируемой в точке (x 1,..., хn), если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде

где , A 1, A 2,..., An ‑ числа, не зависящие от , ,..., .

Дифференциалом du 1 -го порядка функции u = f (x 1,..., хn)в точке (x 1,..., хn)называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно , ,..., , т. е.

Дифференциалы независимых переменных равны их приращениям:

, ,...,

Для дифференциала функции u = f (x 1,..., хn)справедлива формула

Дифференциалом 2-го порядка d2u функции u = f (x 1,..., хn)называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменных x 1,..., хn при фик­сированных значениях dx 1,.., n:

d 2 u = d (du).

Аналогично определяется дифференциал m -го порядка:

dmu = d (dm 1 u).

Дифференциал т- гoпорядка функции u = f (x 1,..., хn), где x 1,..., хn ‑ независимые переменные, выражаемся символической формулой

которая формально раскрывается по биномиальному закону.

Задачи

Найти частные производные первого и второго порядков от заданных функций:

7.55. z = x 5 + y 5 − 5 x 3 y 3. 7.57. 7.60. z = yx. 7.61. . 7.63.

7.66. Найти f'x (3, 2), f'y (3, 2), f''xx (3, 2), f''xy (3, 2), f'yy (3, 2), если f (x, y) = x 3 y + xy 2 ‑ 2 x + 3 y ‑ 1.

7.87. Найти полное приращение и дифференциал функции z = x 2ху + y 2, если x изменяется от 2 до 2, 1, а у ‑ от 1 до 1, 2.

Найти дифференциалы функций:

7.89. . 7.91.

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций (x, у, z ‑ независимые переменные):

7.103. . 7.105. .

Проверить функцию на дифференцируемость в точке (0, 0).

Домашнее задание 7.56, 7.58, 7.59, 7.62, 7.64, 7.67, 7.88, 7.90, 7.92, 7.102, 7.107.

7.56. . 7.58. . 7.59. . 7.62. . 7.64. . 7.67. Найти f'x (1, 2), f'y (1, 2), f''xx (1, 2), f''xy (1, 2), f'yy (1, 2), если .

7.88. Найти полное приращение и дифференциал функции z = lg(x 2 + y 2), если x изменяется от 2 до 2, 1, а у ‑ от 1 до 0, 9.

7.90. . 7.92.

7.102. . 7.107.

Ответы

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Занятие 10. Область определения ФНП. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность ФНП. | Занятие 12-13. Нахождение функции по ее полному дифференциалу. Производная сложной и неявной ФНП. Производная по направлению и градиент ФНП.




© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.