Занятие 10. Область определения ФНП. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность ФНП.

Пусть − произвольное множество точек n -мерного ариф­метического пространства Если каждой точке поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число , то говорят, что на множестве D задана числовая функции f: от n переменных . Множество D называется областью определения, а множество − областью значений функции u = f (P).

Линии и поверхности уровня функции. Линией уровня функции z = f (x, y)называется такая линия f (x, y) = C на плоскости XOY, в точках которой функция принимает одно и то же значение z = С (обычно проставляемое на чертеже в виде отметки).

Поверхностью уровня функции трех аргументов u = f (х, у, z)называется такая поверхность f (x, у, z) = С, в точках которой функция принимает постоянное значение и = С.

Предел и непрерывность функции. Число А называется пределом функции u = f (P)при стремлении точки к точке , если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что из условия следует

При этом пишут:

Функция u = f (P) называется непрерывной в точке Р ₀, если выполнены следующие три условия: 1) функция f (P) определена в точке P ₀; 2) существует ; 3) .

Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если в точке P ₀, хотя бы одно из условий 1)− 3) нарушено, то P ₀ называется точкой разрыва функции f (P). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т д.

Задачи. Найти области определения функции двух переменных, а также построить линии уровня ():

7.6. . 7.8. . 7.10. .

Найти области определения функции трех переменных, а также построить поверхности уровня ():

7.19. . 7.21. .

Найти пределы: 7.32. . 7.35. .

Найти точки разрыва функций двух переменных:

7.44. . 7.46. .

Найти точки разрыва функций трех переменных: 7.50. .

Домашнее задание 7.7, 7.9, 7.13, 7.20 (построить линии и поверхности уровня), 7.33, 7.34, 7.45, 7.47, 7.51.

Ответы