Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения х₁, х₂, …, х_n, вероятности которых соответственно равны р₁, р₂, …, р_n. Тогда математическое ожидание М(X) случайной величины X определяется равен­ством

.

Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

,

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. Рекомендуем запомнить это утверждение, тан как далее оно используется многократно. В дальнейшем будет показано, что математическое ожидание непрерывной случайной величины также есть постоянная величина.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения:

.

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

.

Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.

Решение. Случайная величина X – число появлений события А в одном испытании – может принимать только два значения: х₁=1 (событие А наступило) с вероятностью р и x₂=0 (событие А не наступило) с вероятностью q=1 —р. Искомое математическое ожидание

.

Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события. Этот результат будет использован ниже.